Eenvoudige probleemstellingen over relativistische energie en impuls


We richten ons op een paar eenvoudige probleemstellingen waarbij we de vergelijkingen voor relativistische energie en impuls zullen manipuleren.

Dit artikel is mogelijk op het niveau van tweedejaars natuurkundestudenten.


Einstein had laten zien dat de lorentztransformaties de correcte wijze vormden om te wisselen van coördinatenstelsels van verschillende referentiekaders [1]. Hij leerde ons tevens dat Newtons wetten volstrekt geen relativistische natuurwetten waren. Newtoniaanse impuls, bijvoorbeeld, $ \mathbf{p} = m\mathbf{v} $, en energie, $ E = mv^2/2, $ waren in het geheel niet accuraat bij hoge snelheden.

In plaats daarvan hebben we geleerd dat de relativistische impuls geschreven wordt als

\begin{equation} \label{eq:relativistic momentum} \mathbf{p} = \frac{m\mathbf{v}}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}. \end{equation}

En dat de correcte, relativistische expressie voor de totale energie is:

\begin{equation} \label{eq:relativistic energy} E_{\text{tot}} = \frac{mc^2}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}. \end{equation}

We zullen de volgende probleemset oplossen.

  1. Bewijs, voor een deeltje dat zich voortbeweegt met snelheid $ c $, dat de grootte van de relativistische energie gegeven wordt door $ E = pc $.
  2. Toon aan dat de relatie tussen energie en impuls voor een deeltje met  iedere massa $ m $ met iedere snelheid $ v $ correct is en let op dat hier niet verwezen wordt naar de fameuze $ E=mc^2 $. De juiste alstublieft.
  3. Gegeven dat $ m_p $ de massa van een proton is, bereken zijn exacte snelheid als de relativistische translationele kinetische energie (dat is de relativistische, totale energie minus zijn relativistische massa energie) vier keer zo groot is als zijn relativistische massa energie.

Probleem I

Aangezien $ E $ wordt uitgedrukt in $ p $, herschrijven we $ \eqref{eq:relativistic momentum} $ door op te lossen voor $ m $:

\[ m = \frac{p\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}{v}. \]

Merk op dat we geen vectoren gebruiken, enkel de grootte. We vervolgen door dit in $ \eqref{eq:relativistic energy} $ te substitueren:

\[ E_{\text{tot}} = \frac{\left(\dfrac{p\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}{v}\right)c^2}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}. \]

Dit vereenvoudigen we tot

\begin{align} E_{\text{tot}} &= \frac{pc^2\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}{v\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}, \\ \therefore E_{\text{tot}} &= \frac{pc^2}{v}. \label{eq:E = pc^2/v} \end{align}

Aangezien we te maken hebben met een deeltje dat zich voortbeweegt met snelheid $ c $, weten we dat $ v = c $, waardoor $ \eqref{eq:E = pc^2/v} $ verwordt tot

\begin{align}
E_{\text{tot}} &= \frac{pc^2}{c}, \\
\therefore E_{\text{tot}} &= pc.
\end{align}

Probleem II

De energie-impuls-relatie is

\[ E^2_{\text{tot}} = p^2c^2 + m^2c^4. \]

Substitueren van $ \eqref{eq:relativistic momentum} $ en $ \eqref{eq:relativistic energy} $ geeft

\[ \left(\frac{mc^2}{\sqrt{1 – \dfrac{v^2}{c^2}}}\right)^2 = \left(\frac{m \mathbf{v}}{\sqrt{1 – \dfrac{v^2}{c^2}}}\right)^2c^2 + m^2c^4, \]

dat we verder als volgt kunnen uitwerken:

\begin{align*}\left(\frac{mc^2}{\sqrt{1 – \dfrac{v^2}{c^2}}}\right)^2 – \left(\frac{m \mathbf{v}}{\sqrt{1 – \dfrac{v^2}{c^2}}}\right)^2c^2 – m^2c^4 &= 0, \\
\frac{m^2c^4}{1 – \dfrac{v^2}{c^2}} – \frac{m^2v^2c^2}{1 – \dfrac{v^2}{c^2}} – m^2c^4 &= 0, \\
\left(1-\dfrac{v^2}{c^2}\right)\left(\frac{m^2c^4}{1-\dfrac{v^2}{c^2}}\right) \qquad &\qquad \\ – \left(1-\dfrac{v^2}{c^2}\right)\left(\frac{m^2v^2c^2}{1-\dfrac{v^2}{c^2}}\right) &\qquad \\ – \left(1-\dfrac{v^2}{c^2}\right)m^2c^4 &= 0, \\
m^2c^4 – m^2v^2c^2 – m^2c^4 + \frac{m^2v^2c^4}{c^2} &= 0, \\
m^2c^4 – m^2c^4 – m^2v^2c^2 + m^2v^2c^2 &= 0, \\
0 – 0 &= 0.
\end{align*}

Dus voor elke waarde van $ m $, $ p $ en daarmee ook $ v $ is de relatie waar.

Probleem III

Waterstofbellenvat Fermilab

De relativistische (totale hoeveelheid) energie is

\[ E_{\text{tot}} = E_{\text{trans}} + E_{\text{mass}}. \]

Als de relativistische, translationele, kinetische energie vier keer zo groot is als de relativistische massa-energie, dan kunnen we schrijven

\[ E_{\text{trans}} = 4E_{\text{mass}}. \]

Daarmee verwordt de relativistische energie:

\[ E_{\text{tot}} = 4E_{\text{mass}} + E_{\text{mass}} = 5E_{\text{mass}}. \]

Om de snelheid van het proton te berekenen, schrijven we vervolgens

\begin{align*}
\frac{m_pc^2}{\sqrt{1 – \dfrac{v^2}{c^2}}} &= 5E_{\text{mass}} = 5m_pc^2, \\
\frac{1}{\sqrt{1 – \dfrac{v^2}{c^2}}} &= 5, \\
\sqrt{1-v^2/c^2} &= \frac{1}{5}, \\
1-\frac{v^2}{c^2} &= \frac{1}{25}, \\
\frac{v^2}{c^2} &= \frac{24}{25}, \\
v^2 &= \frac{24c^2}{25}, \\
\therefore v &= \sqrt{\frac{24c}{25}} = \frac{2\sqrt{6}c}{5},
\end{align*}

wat ongeveer gelijk is aan $ 0,98c $, afgerond op twee decimalen, hetgeen betekent dat het zich met 98

Afbeelding Waterstofbellenvat Fermilab: een proton met 300 GeV energie produceert 26 geladen deeltjes in the 30 inch waterstofbellenvat bij Fermilab. Bron: Wikimedia Commons

[1] Einstein, A. (1905) ‘Zur Elektrodynamik bewegter Körper’, Annalen der Physik, 322(10), pp. 891–921. doi: 10.1002/andp.19053221004.


Dit is een opnieuw geplaatst artikel. Het oorspronkelijke van 28 december 2018 bevatte enkele foutjes in de verwerking van LaTeX.