Op de middelbare school heb je misschien geleerd dat je soms kansen met elkaar moet vermenigvuldigen. We bespreken kort wanneer en waarom je dit doet.
Eerst wat over de notatie van kansen. Als je met een ideale dobbelsteen gooit, is de gebeurtenis dat je een zes gooit 1 van de 6 mogelijkheden. Dat schrijven we op als een breuk, 1/6, of \[ \frac{1}{6}. \] We zeggen dan dat je een kans van 1 op 6 hebt om bijvoorbeeld een 6 te gooien. De kans is 1/6, een zesde.
Dat betekent dus ook dat de kans dat je een getal gooit — dat kan dus ieder getal zijn: 1, 2, 3, 4, 5 of 6 — gelijk is aan \[ \frac{6}{6} = 1. \]
Als je met een dobbelsteen gooit, is de kans dus 1 dat je een getal gooit, oftewel 100%. Kortom, als iets 100% zeker gaat gebeuren, is de kans 1. En als iets met een zekerheid van minder dan 100% gaat gebeuren, dan is de kans een zoveelste deel van 1.
Ten slotte nog een belangrijke mededeling over het vermenigvuldigen met een breuk: als je een zoveelste deel, bijvoorbeeld 1/2, van iets berekent, bijvoorbeeld 16, dan kun je dat op twee manieren opschrijven. Je deelt 16 door 2 of je vermenigvuldigt 16 met 1/2. Het is hetzelfde. Oftewel: \[ \frac{16}{2} = 16\times\frac{1}{2} = 8. \]
Twee munten
Stel, je gooit euro #1 in de lucht. Het wordt kop of munt. In Figuur 1 is dat schematisch weergegeven. De kans dat je kop gooit, is 1/2. De kans dat je munt gooit, is 1/2.
Stel, je gooit euro #1 en euro #2 in de lucht. In Figuur 2 is die situatie schematisch weergegeven.
Stel jezelf nu de vraag: van alle keren dat ik met euro #1 kop gooide, hoe vaak zou je met euro #2 kop hebben gegooid? Het antwoord is dat je in de helft van alle keren dat je de euro’s omhoog gooide, euro #1 kop werd. Weer de helft daarvan gooide je kop met euro 2.
Wat is de helft van een helft? Dat is \[ \underbrace{\frac{1/2}{2}}_\text{de helft van de helft} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}. \]
Een deel van een deel
Zie Figuur 3. Stel, we gooien in totaal 16 keer twee munten. Stel nu dat daarvan munt nummer 1 voor de helft kop blijkt; we kleuren de helft blauw. De vraag is, van de hoeveel keren dat munt nummer 1 kop is, gooien we kop met de tweede munt? Dat is wéér de helft. De helft van de helft. Die kleuren we groen.
Van het totaal, het hoeveelste deel is groen? De helft (4) van de helft (8) van het totaal (16), dus 4 van 16, oftewel 1 van 4. Wat is dus de kans dat je groen gooit (munt nr. 2 is kop) als je voor de helft van het totaal blauw gooit (munt nr.1 is kop)?
\[
\frac{1/2}{2} = \frac{1}{2}\times\frac{1}{2} = \frac{1}{4}.
\]
Een euro en een dobbelsteen
Nog een voorbeeld. Stel, je gooit een euro en een dobbelsteen in de lucht. De kansverdeling van kop of munt is 1/2, zoals we inmiddels weten. Voor de dobbelsteen ligt dat iets anders. Het kan 1, 2, 3, 4, 5 of 6 worden. Dus de kans dat je 6 gooit, is 1/6.
Van alle keren dat je met de euro kop gooide — en dat is de helft van het totale aantal pogingen — hoe vaak zou je een 6 hebben geworpen met de dobbelsteen? Dat is dus 1/6e deel van de helft van het totale aantal pogingen. Oftewel, \[ \frac{1/2}{6} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}. \]
Conclusie
Stel dus dat de kans 2/3 is dat gebeurtenis $A$ plaatsvindt en de kans is 1/6 dat gebeurtenis $B$ plaatsvindt en 4/5 dat gebeurtenis $C$ plaatsvindt, dan is de kans dat een combinatie van de gebeurtenissen $A$, $B$ en $C$ optreedt gelijk aan \[ \underbrace{\frac{2}{3}}_A \times \underbrace{\frac{1}{6}}_B \times \underbrace{\frac{4}{5}}_C = \frac{8}{90} = \frac{4}{45} \approx 0.088\dots, \] en dat is 8,9% afgerond op één decimaal.
Om te weten wat de kans op een combinatie van gebeurtenissen is, berekenen we dus in feite de zoveelste keer van een zoveelste keer. En een zoveelste keer van een zoveelste keer (van een zoveelste keer, etc…) is hetzelfde als het vermenigvuldigen van de twee (of meer) breuken.
