---

De zomer is er. Je gaat van een aantrekkelijk ogende cocktail genieten. De condensatiedruppels aan de buitenkant van het glas verraden de aanwezigheid van een koele, verfrissende drank. Maar precies op het moment dat je lippen de rand van de kleurige kelk der gelukzalige voldoening bereiken, vraagt je schokkend intelligente kind je waarom het rietje gebroken lijkt te zijn in je glas. En als het niet deze vraag is, dan in elk geval waarom het hoofd van deze beer op de verkeerde plek drijft. Natuurlijk is het antwoord lichtbreking, maar waarom veroorzaken glas en vloeistoffen lichtbreking?

We zullen je voorzien van het antwoord. Maar voor we beginnen, vragen we toch even voor de zekerheid: te lang, geen tijd, geen zin in formules? Scroll dan door naar de laatste paragraaf, de snelle samenvatting. Toch nieuwsgierig? In dat geval, lees gerust door. Ik beloof je, er zal geen enkele berekening worden uitgevoerd. En als je toch even doorzet, zul je echte natuurkundige kennis hebben verkregen. Meer dan de meesten.

Voor het gemak, zie hieronder een inhoudsopgave:
Enkele incorrecte verklaringen
Waarom zijn ze incorrect?
Stap 1. Geen deeltjes, geen golven: het zijn allemaal velden
Stap 2. Maxwellvergelijkingen
Stap 3. Teken de vectoren
Stap 4. Het elektrische veld in materialen
Snelle samenvatting: waarom veroorzaken glas en vloeistoffen lichtbreking

---

Enkele incorrecte verklaringen

Wat zou je antwoorden? Hier zijn enkele voorbeelden van incorrecte verklaringen die mensen (maar niet jij) hun kinderen zouden kunnen voorschotelen.

1. Licht neemt de snelste route. Aangezien zijn snelheid per medium verschilt, zal het van richting moeten veranderen. Of: licht neemt de route met de kleinste werking. Verder dezelfde redenering.
2. Als licht door het glas of vloeistoffen valt, stuitert het heen en weer tussen de moleculen en atomen van het materiaal. Door de kristalstructuur of de schuivende moleculaire schikkingen van een vloeistof wordt de richting van het licht als geheel een bepaalde kant op gestuurd. En zo ontstaat lichtbreking.
3. Licht bestaat uit deeltjes, zogenaamde fotonen, die worden geabsorbeerd door de atomen van het materiaal, waardoor de elektronen tijdelijk in een baan verder van de atoomkern af ronddraaien. Op het moment dat ze weer terugvallen stoten ze een foton af in een specifieke richting die afhankelijk is van het type atoom, i.e. het materiaal in kwestie. Het algehele resultaat is dat de lichtstraal van richting veranderd is. En zo ontstaat lichtbreking.
4. Het beginsel van Huygens. Licht is een golf. Ieder punt op de golffront kan een bron zijn van cirkelvormige golfjes. Teken ze, verbind de punten en lichtbreking ontstaat.

Waarom zijn ze incorrect?

1. Oké, dit is niet incorrect, maar hoewel het licht dat doet, geeft het geen informatie over wat er precies gebeurt. Het is eigenlijk een antwoord op een ander type vraag. Dus, kniesoorderig, qua antwoord-op-de-gestelde-vraag, dan toch incorrect.
2. Met dezelfde logica zou licht meer uitgespreid moeten worden door de probabilistische aard van het veronderstelde heen-en-weer stuiteren van de chaotisch bewegende of trillende moleculen en atomen. Een specifieke richting van stuiterend licht is hier niet gegarandeerd en daarmee niet zo consistent als we niettemin in de realiteit wel waarnemen. We zouden een veel waziger rietje moeten zien. Een soort gloed. De contouren zouden verdwenen zijn.
3. Hier zou het licht zich ook meer moeten gaan uitspreiden. De richting van een opnieuw uitgezonden foton is niet gegarandeerd in de richting zoals we die in de realiteit waarnemen. Een foton zou opnieuw uitgezonden kunnen worden in elke richting, onafhankelijk van het type atoom. De frequentie van een door een terugvallende elektron ‘uitgezonden’ foton correleert met de atomaire configuratie, maar niet zijn richting. Bovendien zijn ‘uitgezonden’ en ‘geabsorbeerd worden’ niet goed gedefinieerd. Wat betekent dat dan precies?
4. Dit is een verfijnde kwestie. Op het eerste gezicht produceert het beginsel de juiste, nieuwe hoek voor de lichtstraal. Echter, het beginsel van Huygens komt alleen overeen met de waarnemingen als je heel selectief bent, terwijl er meerdere, geldige mogelijkheden aanwezig zijn. Zie Figuur 1 voor een samenvatting.

Stap 1. Geen deeltjes, geen golven: het zijn allemaal velden

Dus waardoor vindt er dan lichtbreking plaats? We zullen een aantal denkstappen moeten verrichten. Hier is de eerste, waarover we kunnen stellen dat het gewoon een kwestie is van even wennen.

De ruimte zelf van het gehele waarneembare universum is gevuld met velden. Sterker nog, velden zijn een eigenschap van ruimte. Ruimte zonder velden bestaat niet. Met ruimte komen velden. In de meeste velden heeft ieder punt niet alleen een waarde maar ook een richting. Deze velden worden vectorvelden genoemd. Sommige worden scalaire velden genoemd; de punten hiervan hebben geen richting, enkel waarden. Er zijn nog meer veldtypes, zoals tensorvelden en fermionische velden. Dit is de kwantumveldentheorie, de succesvolste en accuraatste theorie tot nu toe. Dat is het al sinds meer dan negentig jaar geleden (inclusief een herleving in de jaren 1970).

De volgende vraag is, over welke concrete velden hebben we het? Waarschijnlijk heb je wel eens gehoord of gelezen over het Higgsveld¹. In 2012 produceerde de Large Hadron Collider van het CERN een oscillatie in het Higgsveld. Die oscillatie is wat we het Higgsdeeltje noemen. De energie die in de LHC werd bereikt was meer dan genoeg om een oscillatie in het Higgsveld te veroorzaken die we vervolgens waarnemen als een deeltje². Het bestaan van het veld was een bewezen feit. Twee Nobelprijzen werden uitgereikt aan François Englert en Peter Higgs, die, achtenveertig jaar eerder, onafhankelijk van elkaar de theoretische basis legden voor het bestaan ervan. Het was een indrukwekkend vertoon van hoe mensen met hun schokkend minuscule hersenen in staat bleken om de diepten van de subatomaire wereld, duizend keer kleiner dan de atoomkern, te onderzoeken en daarmee tegelijkertijd cruciale aspecten van het gehele waarneembare universum beschreven. Met behulp van wiskunde en, achtenveertig jaar later, ingenieuze experimenten.

Er zijn meer velden. Er is een elektronenveld. Meestal heeft het veld de waarde nul. Maar als de waarden in een klein deel van dat veld oscilleren met een specifieke frequentie, noemen we dat een electron.

Er is ook een elektromagnetisch veld. Een bundel van miljarden lokale oscillaties binnen een bepaald frequentiegebied is wat we zichtbaar licht noemen. Het is zowel handig om te spreken van lichtdeeltjes (fotonen) alsook van lichtgolven (elektromagnetische straling). Het hangt ervan af wat je wil berekenen.

Je zou kunnen zeggen dat er ook een protonenveld is, al zijn er eigenlijk fundamentelere velden, namelijk de quark- en gluonenvelden (protonen zijn geen elementaire deeltjes, ze bestaan uit quarks en gluonen). Niettemin, voor dit artikel houden we de eenvoudige notie aan van een protonenveld. Een relatief lokale oscillatie is een proton, die we waarnemen als een deeltje.

Er zijn nog meer velden maar om die allemaal te bespreken zou een artikel op zichzelf zijn. Of een aantal boeken. En een paar jaren studie.

Dus, wat is licht, wat zijn elektronen, wat zijn protonen of quarks en gluonen? Zijn het zowel deeltjes alsook golven? Nee, dat is een oude en misleidende vraag. Zijn ze af en toe een deeltje, af en toe een golf? Nee, ook dat niet.

‘Deeltjes’ zijn niet echt deeltjes, zoals de kleine zilveren kogeltjes in een kogellager of iets dergelijks. Ze worden het best beschreven als een wiskundige functie die we de golffunctie noemen (aangeduid met het symbool Ψ). Als ze gemeten worden zijn het relatief lokale oscillaties of verstoringen met specifieke frequenties in de universum vullende velden en gedragen ze zich hoofdzakelijk als deeltjes. Wiskundig gesproken is het soms praktisch om ze te modelleren als deeltjes of golven, afhankelijk van de situatie. Het is echter betekenisloos om te stellen dat ze één van de twee zijn of allebei. Het is accurater om ze te behandelen als mathematische golffuncties dan als iets andersEen persoonlijke overtuiging is momenteel dat de golffunctie alles is dat er is. Elementaire ‘deeltjes’ zijn golffuncties. Niets meer, niets minder. Voorkeur geven aan ’tastbare objecten’, zoals deeltjes, boven ‘slechts mathematische beschrijvingen’, zoals golffuncties, die overigens onvoorstelbaar accuraat bleken na ettelijke miljarden tests, geeft eigenlijk blijk van ons beperkt begrip van kwantumfysica, begrip dat zich stiekem vooral kenmerkt door alledaagse, macroscopische ervaringen als spelen met tennis-, hockey- en voetballen. Er is echter geen enkele reden om aan te nemen dat deze laatsten representatief zijn voor de benadering en interpretatie van het subatomaire fundament van ons universum. In mijn optiek zou dat de golffunctie moeten zijn. — KJ.

Step 2. Maxwellvergelijkingen

James Clerk Maxwell was, naast Schots, een wetenschapper in de mathematische fysica. Na bestudering van eerder werk van Faraday, Gauss en Ampère, toonde hij aan dat een elektrisch veld en een magnetisch veld hetzelfde ding waren, slechts verschillende aspecten ervan. Dat ding noemen we het eerder vermelde, ruimtevullende elektromagnetische veld. Hij toonde ook aan dat licht een elektromagnetisch fenomeen is. Een verstoring in het veld.

Hij formuleerde een set van vier vergelijkingen. Die set draagt zijn naam. We zullen er hier slechts twee ‘gebruiken’:

\begin{align}
\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E} &= \frac{\rho}{\varepsilon_0}, \\
\mathbf{\nabla} \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.
\end{align}

Ik zeg, ‘gebruiken’, maar maak je niet ongerust, we gaan geen moeilijke berekeningen uitvoeren.

Vergelijking (1) wordt de wet van Gauss genoemd en toont hoe het elektrisch veld (dat dus een aspect is van het elektromagnetische veld), aangeduid met E, beïnvloed wordt door een lading $\rho$, zoals de negatieve lading van een elektron of de positieve lading van een proton. Het symbool $\varepsilon_0$ duidt een constante aan, die verschilt per materiaal. Het subscript 0 wijst erop dat het de constante is van het vacuüm. Deze natuurkundige constante $\varepsilon_0$ staat bekend als de elektrische (veld)constante, maar vroeger werd het de diëlektrische constante van het vacuüm genoemd. In dit artikel gebruiken we verschillende waarden voor deze constante, voor verschillende materialen. Namelijk:

\[ \varepsilon_\text{air} \text{ and } \varepsilon_\text{mat}. \]

‘Mat’ is ‘materiaal’, zoals glas of een vloeistof. ‘Air’ is lucht, uiteraard. De exacte numerieke waarden zullen we niet gebruiken want het is niet van belang om lichtbreking te begrijpen. Deze twee epsilons an sich zullen er niettemin een essentiële rol bij spelen. Lees vooral door, zou ik zeggen.

In Figuur 3 zijn de drie velden wederom afgebeeld. Deze keer kun je oscillaties zien: afgebeeld als vlekken in het protonenveld. Dit zijn de protonen. Ze worden omgeven door elektronenvlekken die zijn afgebeeld in het elektronenveld. Beide ‘deeltjes’ beïnvloeden het elektromagnetische veld, of, preciezer, het elektrische subveld daarvan. Let op: de vlekken in die laatste zijn geen ‘deeltjes’ maar invloeden in het elektrisch veld.

Stap 3. Teken de vectoren

Zie Figuur 4. De oranje pijl of vector duidt de richting van het licht aan in het materiaal. Maxwell toonde aan dat licht, zijnde een oscillatie in het elektromagnetisch veld, een oscillerend component in het elektrische subveld van het elektromagnetisch veld heeft. Dat elektrisch veld is haaks georiënteerd op de richting van het licht. Dit wordt aangeduid met de groene vector.

Het is belangrijk om in te zien dat de vector van het elektrische veld twee fundamentele componenten heeft, namelijk de component-vector parallel aan het oppervlak, dat we aanduiden met het symbool $\parallel$, en een component-vector die loodrecht staat op het oppervlak, die we aanduiden met het symbool $\perp$. Dit is weergegeven in Figuur 5.

Precies aan het oppervlak, de overgang van het materiaal naar de lucht, moet het elektrische veld in het materiaal en het elektrische veld van de lucht naar dezelfde waarde ‘glijden’ (anders hebben we te maken met een scheur in ons universum). Dit betekent dat

\begin{align}
\varepsilon_\text{air}(\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E}_\text{air}) &= \varepsilon_\text{mat}(\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E}_\text{mat}), \\
\mathbf{\nabla} \times \mathbf{E}_\text{air} &= \mathbf{\nabla} \times \mathbf{E}_\text{mat}.
\end{align}

Als we de nodige differentiaalrekening verder uitvoeren, verkrijgen we de volgende vergelijkingen:

\begin{align}
\mathbf{E}_{\text{mat}\parallel} &= \mathbf{E}_{\text{air}\parallel} \\
\varepsilon_\text{mat}\mathbf{E}_{\text{mat}\perp} &= \varepsilon_\text{air}\mathbf{E}_{\text{air}\perp}.
\end{align}

Dus de component-vectoren van zowel lucht alsook het materiaal die parallel zijn aan het oppervlak, zijn gelijk. Echter, de component-vectoren loodrecht op het oppervlak zijn ongelijk. Dit is de crux:

\[ \varepsilon_\text{mat} \neq \varepsilon_\text{air}. \]

Het is zelfs zo dat

\[ \varepsilon_\text{mat} > \varepsilon_\text{air}. \]

Dit betekent dat de loodrechte component-vector van lucht groter moet zijn dan dat van het materiaal om te voldoen aan vergelijking (6). Dit is weergegeven in Figuur 6.

Het enige dat nog rest is de nieuwe richting van het licht in lucht te tekenen. Zoals we weten staat de richting van het elektrische veld haaks op de voortplantingsrichting van het licht, met dank aan Maxwell en collega’s. We kunnen dus de nieuwe richting van licht in lucht met gemak construeren, zoals weergegeven in Figuur 7.

Stap 4. Het elektrisch veld in materialen

Dan nu de hamvraag: hoe komt het nu dat de elektrische veldconstante van materiaal zo anders is?

Figuur 8 toont een schematische weergave van wat licht, verstoringen veroorzakend in het elektrisch veld, met elektrisch geladen ‘deeltjes’ doet in materialen in termen van kwantumveldenverstoringen. Merk op hoe de schikking van de ladingen en daarmee de oscillaties in het elektromagnetische veld op dusdanige wijze veranderd zijn dat het elektrische subveld als geheel, in het materiaal, in waarde veranderd moet zijn. Deze veranderingen zijn vervat in de elektrische constante, $\varepsilon_\text{mat}$.

Licht verandert de elektromagnetische configuratie binnen een materiaal wat vervolgens de voortplantingsrichting van datzelfde licht beïnvloedt.

Snelle samenvatting: waarom veroorzaken glas en vloeistoffen lichtbreking

Het universum, i.e. de ruimte zelve³, bevat een alomtegenwoordig elektromagnetisch veld. Wiskundig kunnen we dat opdelen in twee componenten: het elektrische (sub)veld en het magnetische (sub)veld.

Zowel elektronen in glas en vloeistoffen alsook licht worden beïnvloed door oscillaties in het elektrische veld van het materiaal. Tegelijkertijd veroorzaken ze verstoringen in hetzelfde elektrische veld. Als licht het materiaal binnenvalt, wijzigt het elektrisch veld en wijzigt daarmee de schikking van de elektronen. Deze herschikking maakt dat elektronen op hun beurt ook wijzingen veroorzaken in het elektrische veld van het materiaal. Het netto elektrische veld verandert vervolgens de voortplantingsrichting van licht op eenvoudig te voorspellen wijze. Met dank aan vector calculus.

Of, als je dat meer aanspreekt:

Licht duwt elektronen via het elektrische veld. Elektronen duwen terug via datzelfde elektrische veld. Licht zegt, ‘Oké, oké, relax!’, en neemt een iets andere route.

1. Toevallig is dit geen vectorveld; de punten hiervan hebben geen richting, enkel waarden, en dus is het een scalair veld.[↩]
2. Het Higssdeeltje werd indirect geobserveerd aangezien het te snel vervalt om gedetecteerd te kunnen worden door de sensoren. De vervalproducten – oscillaties in andere velden – werden niettemin direct als deeltje waargenomen.[↩]
3. Met ‘ruimte’ bedoelen we niet per se de plek buiten de aarde waar ruimtevaart plaatsvindt, maar het ding zelf, het onzichtbare volume, de driedimensionale bewegingsvrijheid waarmee we ons voor-achter, links-rechts, op-neer kunnen verplaatsen.[↩]