Zoals vaker met wetenschappelijke kreten in het dagelijks spraakgebruik, in boeken, in de bios, op tv en op internet – zoals energie – is het zelden dat het woord dimensie hetzelfde betekent als wat wis- en natuurkundigen menen dat het betekent. Het is zeer waarschijnlijk dat je wel eens de woorden ‘hogere’ of ‘andere dimensies’ hebt gezien of gehoord. Het is zelfs niet ondenkbaar dat je zelf die woorden wel eens gebezigd hebt. In deze aflevering verkennen we wat wis- en natuurkundigen bedoelen als ze het over ruimten en dimensies hebben.
Dimensies zijn geen universums
In sciencefiction en in het alledaagse spraakgebruik is het woord ‘dimensie’ vaak synoniem aan complete werelden, een (konink)rijk of pocket universes. Zo zijn buitenaardse wezens afkomstig van een andere dimensie. En zielen en/of ‘essenties’ bestaan op een ‘hoger bestaansniveau’ in een ‘andere dimensie van de realiteit’.
Regelmatig worden poorten naar andere dimensies geopend via welke exotische materie en energie worden getransporteerd waar de held of de slechterik van het verhaal gebruik of misbruik van maakt.
Het is ook een favoriete manier om grote afstanden binnen onze realiteit mee af te leggen. Je springt door een dimensionale poort en je springt duizend kilometer verderop door een andere poort. Soms kun je ook tijdreizen via andere dimensies.
En, uiteraard, kunnen dimensies ook binnen onze eigen realiteit worden opgeroepen. En soms zijn die dimensies eigenlijk al aanwezig, maar dan moeten ze alleen nog even zichtbaar gemaakt worden door een krachtige geest. Dit verwijst wederom naar dimensies als een complete wereld die verborgen is binnen onze wereld.

Deze hele paragraaf was enkel bedoeld om je te laten weten dat wat met dimensies wordt bedoeld in de meeste sciencefiction niet hetzelfde is als wat er in de wiskunde en de natuurkunde mee wordt bedoeld. Het zijn geen rijken, realiteiten, werelden of pocket universes. Als rijken, realiteiten, werelden en pocket universes bedoeld worden, dan zijn dat precies de juiste woorden ervoor.
Normale ruimten en dimensies
Wat bedoelen wis- en natuurkundigen dan als ze het hebben over dimensies?
Vaak verwijzen ze naar echte richtingen waarin je kunt reizen in de normale ruimte. Vooral vogels en vissen zijn prachtige voorbeelden van wezens die zich van nature in alle richtingen van de ruimte kunnen voortbewegen.
Ze kunnen van links naar rechts en omgekeerd (eerste richting). Ze kunnen recht op je af komen en hun reis voortzetten achter je en omgekeerd (tweede richting). En natuurlijk kunnen ze ook van onderen aan komen zetten en doorgaan tot ver boven je schedel en vice versa (derde richting).
Vaak zijn de drie genoemde richtingen haaks op elkaar georiënteerd. Het zijn zogeheten orthogonale richtingen. Alle beweging kan beschreven worden als een combinatie van bewegingen in deze drie orthogonale richtingen, oftewel orthogonale dimensies.
Op de middelbare school hebben we uitbreid kennisgemaakt met deze drie dimensies. We werden geplaagd met het vinden van afstanden tussen hoekpunten van een kubus langs de randen, de zijvlakken of dwars door het blok. Moderne gadgets en bioscopen gebruiken in dit verband natuurlijk ook de term 3D, driedimensionaal. Zij gebruiken of simuleren de drie orthogonale dimensies op een virtuele of fysieke manier voor ons entertainment.
In wiskundig opzicht levert de mogelijkheid van reizen (of ‘transporteren’) langs deze drie orthogonale richtingen automatisch een ruimte op, een topologie, in een of andere vorm.
Dus, hoewel dimensies ruimten met zich meebrengt, zijn ze niet identiek. En hoewel uit één dimensie technisch gezien een topologie, een ruimte, voortkomt, is het nog steeds een ééndimensionale ruimte waar driedimensionale lichamen niet kunnen leven zonder uit elkaar getrokken te worden.

Euclides en Descartes
Een informele definitie van dimensies is het aantal coördinaten dat nodig om een object te lokaliseren (in een of andere ruimte). Dus op een plat oppervlak (een vlak) zoals een plafond heb je twee coördinaten nodig om een vlieg te lokaliseren. Een vlieg kan 2 meter van de linkermuur verwijderd zijn (de eerste richting) en 3 meter van de muur tegenover je (de tweede richting, haaks op de eerste richting). De coördinaten van de vlieg zijn dus (2,3). En dus is een vlak tweedimensionaal.
In de normale, driedimensionale ruimte hebben we drie coördinaten nodig om een vlieg in een kamer te lokaliseren. Een vlieg kan 2 meter van de linkermuur verwijderd zijn, 3 meter van de muur tegenover je en 1,5 meter van de vloer. Zijn coördinaten zijn daarom (2;3;1,5). We gebruiken nu de puntkomma om de coördinaten van elkaar te scheiden omdat we de komma al voor decimalen gebruiken.
Dit was een van de grote inzichten van René Descartes terwijl hij nog tot laat in de middag in bed lag, zo gaat het verhaal althans. Daarom worden deze coördinaten Cartesische of Cartesiaanse coördinaten genoemd. Descartes speelde een sleutelrol in de ontwikkeling van wat we nu het Cartesisch coördinatenstelsel noemen.
De ruimte waar dit type coördinaten bij horen wordt Euclidische ruimte genoemd; de grote Griekse wiskundige Euclides is de vader van de Euclidische meetkunde.
Ik denk dat gesteld kan worden dat Euclides en Descartes er schuldig aan zijn dat wiskundeleraren in staat zijn gesteld om ons te plagen met honderden wiskundesommen waarmee we de Euclidische ruimte met twee- en driedimensionale Cartesische coördinatenstelsels moesten leren kennen.

Ruimte en tijd
In de echte wereld, naast een locatie in de normale ruimte, is het ook nodig dat je aangeeft wanneer. Alleen de mededeling dat je ergens in een kantoor op de kruising van twee straten moet zijn, op de vierentwintigste verdieping (dat zijn de drie dimensies in de normale ruimte in een klap), is eigenlijk niet genoeg. Je mist nog een tijdcoördinaat. Wanneer moet je daar zijn?

Einstein noemde het feit dat je op een bepaald tijdstip op een bepaalde plek moest zijn een gebeurtenis. Met andere woorden, waar we in de normale ruimte met Cartesische coördinaten over een positie spraken, gaf Einstein het inzicht dat er nu enkel over gebeurtenissen gesproken moet worden in termen van ruimte en tijd, de ruimte-tijd, met gebruikmaking van ruimte-tijdcoördinaten.
Toen Einstein de speciale relativiteitstheorie introduceerde, realiseerde de Duitse wiskundige Hermann Minkowski dat de theorie geometrisch ook begrepen kan worden in de vierdimensionale ruimte-tijd, waarin tijd de vierde dimensie vormt. We noemen deze ruimte de Minkowski-ruimte. Merk op dat we het woord ‘ruimte’ nu breder zien: het omspant niet alleen de normale ruimtelijke dimensies maar ook een tijd-dimensie (en is, om technische redenen, niet langer Euclidisch).
Overigens, een ander woord dat wis- en natuurkundigen vaker gebruiken is variëteit in het Nederlands en manifold in het Engels. Een variëteit is een topologisch object dat verschillende vormen kan aannemen, zoals een tweedimensionaal vlak, een driedimensionale, Euclidische ruimte, een vierdimensionale Minkowski-ruimte of ieder andere wiskundige ruimte.
In Einsteins algemene relativiteitstheorie (zwaartekracht) gebruiken we nog steeds een vierdimensionale ruimte-tijd behalve dan dat de vorm niet langer Minkowskiaans is. Deze ruimte is vervormd, gekromd, geplooid en uitgerekt. Binnen de beste theorie van de zwaartekracht die we tot nu toe hebben, werken we met de zogenaamde pseudo-riemann-variëteit, vernoemd naar de grote Duitse wiskundige Bernhard Riemann. De dimensies zijn nog steeds alle richtingen die je op kan gaan, oftewel het minimum aantal coördinaten benodigd om een gebeurtenis te lokaliseren. Echter hier zijn de dimensies niet noodzakelijkerwijs orthogonaal georiënteerd ten opzichte van elkaar.

Vier normale, ruimtelijke dimensies
Stel je een Pac-Man voor die op het oppervlak van een bol leeft. Voor hen is de wereld plat. Als die alsmaar rechtdoor zou blijven gaan zou die behoorlijk verrast kunnen zijn als zou blijken dat die is teruggekeerd op de plek waar die begon.

Wij, driedimensionale wezens die de meesten van ons zijn, zien de Pac-Mans als kleine vormpjes met kleine oppervlakjes omdat we hen ‘van boven’ zien, vanuit de derde dimensie. We kunnen tevens zien hoe ze reizen rond het oppervlak van de bol. Ze weten niet wat een sfeer is (een sfeer is enkel het oppervlak van een bol, niet de binnenkant ervan). Ze denken alleen aan platte oppervlakken. Voor ons is het vanzelfsprekend dat ze terugkeren naar de plek waar ze de reis begonnen.
Terug naar onze 3D-wereld. Stel je voor dat we met een ruimteschip door het heelal zouden reizen. In een rechte lijn. Alsmaar rechtdoor. Stel je voor dat we na miljarden jaren weer precies uitkwamen waar we ooit startten: aarde. Wat zou er gebeurd zijn? Zou ons universum misschien zoals een sfeer zijn, maar dan vierdimensionaal?

Hoewel nog geen enkel experiment het bestaan van een vierde ruimtelijke dimensie heeft aangetoond (laat staan een vijfde of een zesde etc.), is zeer vermakelijk om je in een vierdimensionale wereld te verdiepen en er wat langer over na te denken.
Voor alle duidelijkheid: tijd is hier niet de vierde dimensie. Hier hebben we het louter over ruimtelijke dimensies. Het komt vaak voor dat deze twee verward worden: vierdimensionale ruimte-tijd is drie ruimtelijke dimensies plus een tijd-dimensie, terwijl een vierdimensionale ruimte uit vier ruimtelijke dimensies bestaat, zonder tijd.
Abstracte ruimten
Er is nog een manier waarop dimensies en ruimten worden gebruikt door wis- en natuurkundigen. Stel je een object voor dat verschillende eigenschappen tegelijk heeft: een positie (in de normale ruimte), beweging, bewegingsrichting, temperatuur, kleur. Om de toestand van dit object te beschrijven heb je meer dan alleen de vier ruimte-tijdcoördinaten nodig. Stel dat die (0,1,1,1) zijn. Oftewel, het bestaat op tijd $t = 0$ op positie $(x = 1; y = 1; z = 1).$
Hebben we nu de toestand van het hele object beschreven? Nee, we missen nog wat kengetallen. Het is in beweging, dus het heeft een snelheid, zeg 10 m/s. Die snelheid heeft ook een richting. Laat dit naar links zijn. Dan schrijven we op dat de snelheid dus -10 m/s is (links is meestal negatief, rechts meestal positief).
Stel dat de temperatuur 273,15 Kelvin is. Dat is 0 ℃. En de kleur is wit. Hoeveel getallen hebben we dan nodig om de volledige toestand van het object te beschrijven? Zeven (we tellen ‘wit’ even als een getal).
De coördinaten (0;1;1;1;-10;273,15;wit) horen bij wat we een faseruimte noemen, een abstracte ruimte waar de eigenschappen van een object de dimensies vormen van een ruimte. In dit voorbeeld is de faseruimte zevendimensionaal. Natuurlijk is het onmogelijk je zoiets voor te stellen, maar in wiskundig opzicht kun je er prima mee werken.
We hebben een wat ongebruikelijk voorbeeld genomen om te benadrukken dat dimensies niet altijd gerelateerd hoeven te zijn aan ruimtelijke en tijd-dimensies. Niettemin is het vrij gebruikelijk dat faseruimten in de context van positie en impuls worden gebruikt.

Een ander voorbeeld van een abstracte ruimte is een zogenaamde vectorruimte waar iedere coördinaat niet slechts een punt is in die ruimte maar ook een richting in zich draagt. Een voorbeeld van zo’n ruimte is de snelheid van de wind. Ieder punt in die ruimte heeft niet alleen een waarde met betrekking tot de luchtsnelheid maar ook met betrekking tot de richting ervan in de normale ruimte.
In een vorige post, Complexe getallen: een inleiding, werd een geheel nieuwe getallenlijn geïntroduceerd. Alle ruimten die we zojuist noemden zouden net zo goed complexe dimensies kunnen bevatten. En dat is meestal het geval zoals in de quantummechanica bijvoorbeeld. Complexe, abstracte vectorruimten met complexe getallen waar golffuncties feesten. De Hilbertruimte is dan meestal de place to be!
Het Standaardmodel van de deeltjesfysica is gebaseerd op de symmetrische transformatiegroepen in de complexe ruimte, genaamd SU(3) $\times$ SU(2) $\times$ U(1). De S staat voor special en verwijst naar alle mogelijke transformaties in de complexe ruimte met uitzondering van een enkele soort. U(1) refereert aan een eendimensionale, eenheidscirkelgroep in het complexe vlak. De getallen geven het aantal dimensies aan waarin de transformaties plaatsvinden. De dimensionaliteit van de abstracte, complexe ruimte die volgt uit een symmetriegroep zoals SU(3) is $3^2 -1 = 8.$ Zoals je kunt zien, zijn dimensies vergeleken met het alledaagse spraakgebruik heel andere dingen in wetenschappelijke context.
Algemeen gesteld is iedere variëteit een ruimte. Dit hoeft niet per se ruimtelijke ruimte te betreffen. Het minimum aantal benodigde dimensies om een pad naar een punt op deze variëteit te construeren is de dimensionaliteit van deze ruimte.
Er zijn zoveel meer typen wiskundige ruimten dat het er te veel zijn om op te noemen. Laten we volstaan met te stellen dat hoewel ze niets van doen hebben met normale ruimte, onze alledaagse leefruimte, waar we met z’n allen in rondzwerven, deze ingenieuze vondsten wiskundige gereedschappen vormen om voorspellende berekeningen mee uit te voeren die wél weer betrekking hebben op fenomenen in onze wereld.
Snaartheorieën
Een interessante eend in de bijt is de snaartheorie, of liever, snaartheorieën. Als je de premisse accepteert dat een elementair deeltje zoals een elektron eigenlijk een eendimensionale snaar is, die op specifieke wijze trilt, corresponderend met een hele collectie eigenschappen (van het elektron bijvoorbeeld), dan zijn er automatisch meer dan drie ruimtelijke dimensies nodig om alle verschillende soorten deeltjes op deze manier te kunnen beschrijven. Snaren hebben een voldoende hoeveelheid vrijheidsgraden nodig om te kunnen bewegen op unieke manieren opdat de hele dierentuin aan deeltjes en hun eigenschappen bestreken kunnen worden.

In verschillende versies van de snaartheorieën zijn verschillende aantallen dimensies benodigd. Deze zijn ruimtelijk en onzichtbaar. Aangezien we ze niet ervaren, wordt gedacht dat ze ontzettend klein en opgerold zijn. Ze zijn althans niet zo uitgestrekt als onze normale drie dimensies.
Of dat ze zo groot zijn dat ze ons simpelweg niet merkbaar in de weg zitten. Net als hoe de kromming van de aarde ons ook totaal niet opviel toen we nog zo klein waren en de aarde zo groot, vergeleken met onze actieradius van toen.
Helaas kan de theorie nog niet getest worden. Tot nu toe is het een puur wiskundige exercitie. Hoewel veel ontdekkingen gedaan zijn in pure wiskunde, geen experiment heeft de snaartheorie bewezen (in al zijn hoedanigheden en ik reken nu de supersnaartheorieën en M-theorie hier ook onder, ook al ligt de hiërarchie andersom). Geen extra dimensies zijn gevonden.
Een eervolle vermelding verdient de Calabi-Yau-variëteit of de Calabi-Yau-ruimte. In de supersnaartheorie wordt het verondersteld de voor de theorie benodigde zes onzichtbare, extra dimensies te bevatten. De variëteit is drie-complex-dimensionaal of zes-reëel-dimensionaal. Ik vind het een cool ding.
Niets van dit alles is bewezen; het lijkt erop dat we nu eenmaal vastzitten aan de driedimensionale ruimte met slechts een tijd-dimensie. En, als je het mij vraagt, is het waarschijnlijk dat de driedimensionale ruimte een bijproduct is van iets quantumachtigs.

Ruimten en dimensies
Er zijn zoveel verschillende ruimten met een variëteit aan dimensies (see what I did there?) dat we hier niet genoeg papier hebben om ze op te sommen en te bespreken.
Maar wat kunnen we van dit alles meenemen? Dimensies zijn geen werelden. In de normale ruimte zijn ze de richtingen waarin objecten getransporteerd kunnen worden. Dat zijn er drie in ons geval.
Als je tijd modelleert als een dimensie, dan leven we in een vierdimensionale ruimte-tijdwereld. Behalve dan dat je niet vrijelijk kan bewegen in de tijd want is eenrichtingsverkeer3.
Hoewel velen hadden gehoopt op het vinden van extra ruimtelijke dimensies heeft het allergrootste experiment dat de mensheid tot nu toe heeft ondernomen, de Large Hadron Collider van het CERN, geen spoortje bewijs hiervoor kunnen vinden. In plaats daarvan heeft het overtuigend bewijs opgeleverd dat het huidige Standaardmodel van de deeltjesfysica zonder extra dimensies nog steeds klopt.
Om fenomenen ons universum te beschrijven en te voorspellen is het niettemin bijna altijd handig om hun eigenschappen als extra dimensies te modelleren. Dit heeft niets van doen met dat er werkelijk extra dimensies zijn – dit is waarschijnlijk waar de pop- en esoterische deelverzamelingen van de menselijke cultuur graag aan appelleren – maar heeft van alles te maken met het in staat stellen van het uitvoeren van calculaties in de abstracte wiskunde.
In een vorige post maakten we bijvoorbeeld gebruik van imaginaire tijd als extra dimensie om er een set vergelijkingen in de speciale relativiteitstheorie mee af te leiden. Het betekent niet dat imaginaire tijd werkelijk een extra dimensie is waarin je je ledematen of je bewustzijn kunt steken.
In snaartheorieën zijn werkelijk bestaande, ruimtelijke dimensies vereist om de theorieën werkend te krijgen. Geen van die hen kan echter worden getest (en geen van hen is getest noch bewezen). Het blijft een prachtig, wiskundig bouwwerk, maar dan ook puur wiskundig.
In toekomstige posts zullen we geometrie, de pseudo-riemann-variëteit, symmetriegroepen en de Hilbertruimte verder gaan verkennen met behulp van een beetje wis- en natuurkunde.
Licenties
De titelafbeelding en Figuren 1 zijn filmbeelden van Doctor Strange (2014) en Figuur 4 van Interstellar (2014), beiden films met auteursrechten. Verondersteld wordt dat deze stilstaande beelden getoond mogen worden onder de fair-use-bepaling van het Amerikaanse auteursrecht.
Figuur 6. Lorenz-aantrekker-animatie door Dan Quinn onder CC BY-SA 3.0
Figuur 8. Calabi-Yau-variëteit door Lunch onder CC BY-SA 2.5, vervaardigd in Mathematica
- Astronaut Jospeh Cooper (Matthew McConaughey) bevindt zich in deze ruimtelijke representatie van ruimte-tijd. Alle vier dimensies van specifieke gebeurtenissen in een specifieke kamer in het verleden, het heden en de toekomst – opgedeeld in hanteerbare brokken tijd – zijn als het ware uitgespreid, geprojecteerd, over een object (een Tesseract genaamd) dat zich in het binnenste van een zwart gat bevindt (waar de rollen van ruimte en tijd zijn omgedraaid). Cooper kan zich vrijelijk door dit object voortbewegen. Dit stelt hem in staat om informatie door te sijpelen in de gebeurtenis naar keuze, in de kamer op een bepaald tijdstip. In het filmbeeld hierboven zie je vele instantiaties van dezelfde kamer van zijn huis met daarin zijn dochter, op verschillende momenten van de tijd.[↩]
- Technisch is het een 3-sfeer, of een n-sfeer, waarbij $n=3$ en de ruimte waarin het leeft is dan $n+1.$[↩]
- Tijd is absoluut een compleet andere post waardig. Kan niet wachten.[↩]