Laboratorium­centrifuges en priemgetallen


Micro- en moleculair-biologen die onderzoek verrichten naar virussen, bacteriën, schimmels, menselijke en dierlijke cellen maken vaak gebruik van een laboratoriumcentrifuge. Met dit apparaat kunnen ze verschillende stoffen van elkaar scheiden. Denk aan het recente coronavirus, SARS-CoV-2, of dna-materiaal.

De rotor van het apparaat draait vaak op hoge snelheid. Het is van vitaal belang dat de reageerbuizen op een uitgebalanceerde manier zijn aangebracht. Als dat niet gebeurt, kan de machine kapot gaan en kunnen de glasscherven en potentieel gevaarlijke substanties in de rondte vliegen1.

Gelukkig is er een vernuftige manier om van tevoren te berekenen of het in principe mogelijk is om met een gegeven aantal beschikbare plekken voor reageerbuizen en een gegeven aantal reageerbuizen de machine gebalanceerd in te pakken. Hiervoor gebruiken we mijn favoriete type getallen: de priemgetallen. Fun fact: deze truc is pas in 2010 wiskundig bewezen.


NIEUW: Luister naar de audio |


De opzet

Voor we beginnen nemen we aan dat de massa van iedere reageerbuis plus inhoud dezelfde is. Verder merken we op dat deze berekening uiteraard ook op de natuurkundige manier uitgevoerd kan worden, met hoeksnelheid en draaimomenten en dergelijke, maar in dit geval gebruiken we pure wiskunde, i.c. de getaltheorie.

Stel dat de centrifuge acht reageerbuizen kan bevatten. De acht gaten zijn gelijkmatig verdeeld over de rotor van de machine.

Als we slechts een reageerbuis zouden hebben, zie je meteen dat dit niet uitgebalanceerd kan worden. Met twee lukt het natuurlijk prima. Je plaatst ze gewoon tegenover elkaar. Met drie? Hm. Dat wordt lastig. Hoe je ze ook plaatst, het blijft een asymmetrische toestand. Met vier? Dat is weer gemakkelijk. Je kunt gewoon een symmetrisch rechthoekje of vierkantje maken.

Oké, en vijf dan? Wacht eens even… deze situatie is vergelijkbaar met drie reageerbuizen. Drie en vijf zijn complementair bij een totaal van acht. Bij drie lukte het al niet, dus bij vijf gaat het dan ook niet lukken. Logisch.

Zes? Absoluut. Bij twee lukte het ook. Dan lukt het bij zes ook. Je kunt het prima symmetrisch inpakken.

Zeven? Nee. Je zult het inmiddels wel door hebben: zeven reageerbuizen zijn complementair aan die ene reageerbuis aan het begin.

En acht… nou ja, nogal wiedes. Dat lukt. En het is hetzelfde als geen reageerbuizen. Dan is de machine ook gebalanceerd natuurlijk.

Zie je er al een patroon in? Misschien lukt het je. Merk dus op hoe de bezette plekken en de lege plekken altijd complementair zijn aan elkaar.

Ontbinden in priemfactoren

Ik neem aan dat bekend is wat een priemgetal is: een geheel getal groter dan 1 die niet geschreven kan worden als een product van twee kleinere gehele getallen. Op de middelbare of misschien zelfs de basisschool heb je misschien meegekregen dat het hele getallen zijn (groter dan 1) die alleen door 1 of door zichzelf gedeeld kunnen worden. Dus voorbeelden van priemgetallen zijn 2, 3, 5, 11, 13, 17 enzovoorts.

Ontbinden in priemfactoren is het schrijven van een niet-priemgetal als een product van twee of meer priemgetallen. De hoofdstelling van de rekenkunde stelt dat ieder geheel getal óf zelf een priemgetal is óf een product van priemgetallen. Dit is een van de redenen waarom priemgetallen mijn favoriet zijn; het zijn de basisblokjes van alle gehele getallen.

Laten we het getal 15 nemen. Dit kunnen we dus ook schrijven als $15 = 3 × 5$. Of neem 279. Dit kunnen we ontbinden als $279 = 3 × 3 × 31 = 3^2 × 31$. En 16 wordt dan $16 = 2 × 2 × 2 × 2 = 2^4$.

Zoals je ziet is het ontbinden in priemgetallen een soort van uit elkaar trekken van een niet-priemgetal in kleinere priemgetallen. Die laatste noemen we in dit verband ook wel priemfactoren. 

Dus, dat is dat. Een van de vele toepassingen van ontbinding in priemfactoren is het vinden van de grootste gemene deler. Of het versleutelen (en ontsleutelen) van geheime berichten en bestanden. Hier gaan we het toepassen om te berekenen of we reageerbuizen in een rotor kunnen doen op een manier die uitgebalanceerd is.

De truc

Stel, je machine heeft $n$ beschikbare plekken. Stel, $k$ is het aantal reageerbuizen die je erin wilt stoppen. Het aantal lege plekken is dan $n-k$. Hier is dan de truc.

Ontbindt $n$ in priemfactoren. Als $k$ geschreven kan worden als de som van deze priemfactoren en het aantal lege plekken $n-k$ geschreven kan worden als de som van deze priemfactoren, kun je de rotor gebalanceerd inpakken. (En vice versa.)

De wiskunde

Het voert te ver om het bewijs van Gary Sivek in zijn paper van 2010 (ook hier) uitgebreid te bespreken. De strekking ervan, mocht je daartoe neigen, kun je lezen door op ‘Meer’ te klikken. Maar je kunt het natuurlijk ook skippen en doorgaan naar de volgende paragraaf als het (begrijpelijk) onbegrijpelijk is.

Meer

Om een cyclotomische polynoom te verkrijgen (of priempolynoom), zoeken we de eenheidswortels op van de complexe getallen $z^n$ waarbij $z^n = 1$. Oftewel, we hebben dan $n$-de eenheidswortels waarbij $n$ het totaal aantal plekken is in de centrifuge. We projecteren vervolgens de reageerbuizen zonder overlap op de eenheidswortels. Zoals welbekend zijn de waarden van $z in \mathbb{C}$ gegeven door $e^{\frac{2\pi i}{n} k}$, waarbij $1 \leqslant k \leqslant n$.

Nu heben we dus $k$-eenheidswortels onder de $n$-de eenheidswortels.

Sivek bewees met het Theorema van Leung en Lam dat als (en slechts dan als) de som van de $n$-de machten van de $k$-bezette eenheidswortels en de som van de $n$-de machten van de $n-k$-‘bezette’ (dus lege) eenheidswortels ‘opgeheven worden’, oftewel gelijk zijn aan nul (met die goede, oude formule van De Moivre, zoals je vast nog weet van het eerste sememster op de uni), er sprake is van een $k$-balans, oftewel, je kunt het balanceren (zolang als $n \geqslant 2$ en $1 \leqslant k \leqslant n-1 $; $k=0$ and $k=n$ werden om voor de hand liggende redenen als triviaal beschouwd).

Zoals je kunt zien komt er geen klassieke mechanica bij aan te pas.

Een voorbeeld van acht eenheidswortels in het complexe vlak

Voor de hand liggende voorbeelden

Stel, we hebben een centrifuge voor maximaal 8 reageerbuizen. We hebben slechts 6 reageerbuizen. Eerst ontbinden we 8 in priemfactoren. Dat is makkelijk, dat is alleen het getal 2. Vervolgens zien we dat we 6 inderdaad als een som van 2 kunnen schrijven. En complementair is het aantal lege plekken, $8-6=2$, de priemfactor zelve! Dus het antwoord is ja, 6 reageerbuizen kun je gebalanceerd in een machine voor 8 stoppen.

Laten we 7 reageerbuizen nemen. Kunnen we 7 schrijven als een som van priemfactor 2? Nee. Nou, dat is dan dat. We kunnen geen gebalanceerde verdeling maken.

Een contra-intuïtief voorbeeld

Stel, onze centrifuge kan er 12 hebben. We hebben er slechts 7. Hm. Van 6 weten we dat het werkt, maar eentje meer, zou dat lukken?

De priemfactoren van 12 zijn 2 en 3, immers $12=2×2×3=2^2×3$.

We kunnen 7 schrijven als een som van die priemfactoren $7=2+2+3$. Oké, dat gaat goed. En het aantal lege plekken dan? Welnu, $12-7=5$ en inderdaad, 5 kunnen we ook schrijven als $5=2+3$.

Dus het antwoord is: ja, we kunnen met 7 reageerbuizen een uitgebalanceerde indeling maken in een rotor met 12 plekken.

Misschien was dat niet iets wat je meteen inzag. Maar als je een afbeelding en een uitwerking ervan zou zien, is het waarschijnlijk ineens heel erg logisch. Je krijgt bonuspunten voor als je een dergelijke tekening kan maken voor 5 reageerbuizen. Dat zou nu een eitje moeten zijn.

Bonustruc

Het mooie is dat al het bovenstaande leidt tot nóg een manier om uit te vogelen of je een uitgebalanceerde centrifuge kunt verkrijgen. En, eerlijk gezegd, dit is denk ik de makkelijkste manier. Als je het aantal reageerbuizen kunt schrijven als de som van twee aantallen waarvan je al weet dat je daarmee afzonderlijk een uitgebalanceerde centrifuge mee krijgt, kun je er een uitgebalanceerde centrifuge mee krijgen. Gheghe.

Tot besluit

In werkelijkheid beschikken de meeste machines over sensoren om vervelende onbalans te voorkomen. De rotoren bevatten vaak ook markeringen waardoor men er niet heel erg over hoeft na te denken waar de reageerbuisjes geplaatst moeten worden. Bovendien zorgt men er meestal voor dat men het aantal buisjes prepareert die overeenstemt met een gebalanceerde centrifuge.

Veel rotoren hebben drie compartimenten met sets reageerbuizen. Dat vangt een grotere massavariatie makkelijker op. En sommige machines, zoals bijvoorbeeld in ziekenhuislaboratoria, beschikken over volledig geautomatiseerde robots die de buisjes weegt, plaatst en eventueel balansbuisjes toevoegt.

De reden waarom dit type wiskunde wordt bedreven is niet zozeer gelegen in de toepasbaarheid ervan als wel plezier hebben in de ontdekking van diepe verbanden zoals hier – tussen priemgetallen en complexe meetkunde, zogezegd. Het is vooral een opwindende, leuke en vruchtbare menselijke verkenning van de landen der getaltheorie, algebraïsche meetkunde en bijvoorbeeld Galoisvelden op het continent van de zuivere wiskunde.

Uitgelichte foto door Michail Tzortzatos onder CC BY-SA 4.0
Draaiende rotor door user musicalwoods onder CC BY-SA 2.0

  1. Veel apparaten bevatten sensoren om dit te voorkomen. Zie voorts Tot besluit hieronder.[]