Tot op de dag van vandaag krabben natuurkundigen zich op het hoofd als het gaat om kwantumverstrengeling en de daaruit voortkomende effecten. Dit onderwerp is opgesplitst in twee delen. In deze post bespreken we de begrippen lokaliteit en non-lokaliteit en wat kwantumverstrengeling is. De term kwantumverstrengeling is in het populaire taalgebruik veelvoorkomend in de context van spiritualiteit, healing en new-agebenaderingen van het menselijk bewustzijn. Dit heeft echter niets te maken met de kwantumverstrengeling die we hier bespreken. Hier kijken we puur naar de natuurkunde, de zuivere herkomst en originele context. We zullen daartoe de toestand van een systeem met twee deeltjes nader bestuderen. In de volgende post bespreken we welke bezwaren Einstein en vrienden naar voren brachten, wat Bell toen schreef en of Einsteins voorstel correct was. En we bespreken enkele intrigerende mazen van het net.
De basics
Voor de zekerheid nog even de basis. ‘Deeltjes’ zijn volstrekt geen deeltjes in de klassieke betekenis van het woord – het zijn geen kleine balletjes of kogeltjes. De beste beschrijving die we van ze hebben is de golffunctie, een wiskundige expressie waarin alle mogelijke toestanden van het deeltje zijn verwerkt. Dit betreft onder andere zijn energieniveau’s, zijn positie en nog een aantal andere eigenschappen of toestanden die het kan omvatten.
Zolang er geen metingen op los zijn gelaten, verkeert het deeltje niet in een specifieke toestand. Het vertoont golfachtige gedrag als een ondoorzichtige wolk van alle mogelijke toestanden. Zodra je echter metingen verricht, klaart die wolk ogenblikkelijk op en zal het deeltje eruit zien als een echt deeltje, in de klassieke zin van het woord. Met een specifieke toestand.
Overigens kan ‘de toestand van een elektron’ referen naar een deeltje zonder specifieke toestand of specifieke waarden van eigenschappen zolang geen metingen hiernaar zijn verricht. De toestand van een elektron is hier het beste beschreven als een golffunctie die alle mogelijke specifieke toestanden omvat.
Hierna worden ‘golffunctie’ en ‘toestand’ door elkaar gebruikt.
In Dit is geen atoom wordt de golffunctie besproken. In Het tweespletenexperiment worden de golfachtige en de deeltjesachtige gedragingen onder de aandacht gebracht.
Lokaliteit vs non-lokaliteit
Isaac Newton wist dat hij een probleem had toen hij zijn theorie van de zwaartekracht eenmaal had geformuleerd. Het beschrijft heel mooi in behoorlijk precieze termen hoe de zwaartekrachten van twee massa’s zich tot elkaar verhouden, maar het verklaart niet hoe dat gebeurt. Hij was niet blij met de conclusie dat de zwaartekracht tussen de aarde en de maan op grote afstand dwars door een vacuum een soort spookachtige invloed kan hebben. Hij schreef dat het een dusdanig grote absurditeit was dat hij meende dat geen mens met enig talent tot nadenken over filosofische aangelegenheden hiervoor zal vallen. Beroemd is zijn toevoeging dat hij dit onopgeloste mysterie verder ‘ter overdenking aan zijn lezers’ overliet[1].
Met andere woorden, Newton was geen fan van non-lokaliteit1. En toch, zijn theorie impliceerde dat er sprake moet zijn van een onzichtbare kracht die over grote afstanden door de leegte van een vacuum kan doorwerken. Bovendien lijkt het een instantane kracht te zijn: als de zon plotseling zou verdwijnen, dan zou de aarde subiet zijn ellipsvormige baan verlaten en de ruimte ingeslingerd worden. Tegenwoordig weten we dat niets sneller kan voortbewegen dan het licht, dus ook veranderingen in de zwaartekracht van de zon zouden er ongeveer acht minuten over doen voordat ze de aarde bereiken.
In de daaropvolgende jaren bleken fenomenen als magnetisme en elektriciteit inderdaad toch gewoon lokaal te zijn. Aan werd getoond dat er altijd sprake is van een indirecte weg via welke het ene object het andere kan beïnvloeden. Wat wordt er dus precies bedoeld met lokaliteit? Dit is het mechanisme: een object interacteert met zijn directe omgeving, een veld dat verankerd is in onze driedimensionale wereld, een elektromagnetisch veld in dit geval. Die interactie brengt als het ware een rimpeling teweeg in het veld, dat die rimpeling vervolgens doorzet naar het andere object. In termen van ‘velden’ kun je stellen dat er dus een bepaalde waarde van het veld veranderd is door het object. Die waardeverandering verandert op zijn beurt de waarden van het veld in de directe omgeving, die op hun beurt de waarde van het veld weer wijzigen in hún directe omgeving, enzovoort. Het is vergelijkbaar met ‘de wave’ van duizenden supporters in een voetbalstadion. Of omvallende dominostenen. Iedere verandering is altijd lokaal en de voortbewegingssnelheid kent een maximum van de snelheid van het licht.
Vele jaren later verving Einstein de zwaartekrachttheorie van Newton met zijn algemene relativiteitstheorie. Het toonde aan dat Newtons intuïtie dat zwaartekracht niet niet-lokaal kon zijn, correct was. In de algemene relativiteitstheorie zijn ruimte en tijd zelve de rekbare substantie via welke zwaartekrachtverstoringen worden voortgeplant richting het andere object met de snelheid van het licht. Als een massa de ruimtetijd om zich heen plooit en kromt, rimpelen deze verstoringen verder door het universum op weg naar andere objecten. Op 11 februari 2016 slaagde een enorm samenwerkingsverband tussen ongelooflijk getalenteerde wetenschappers erin om deze zwaartekrachtrimpelingen in de ruimtetijd daadwerkelijk te meten en te registreren. Einstein voorspelde het bestaan van deze rimpelingen al in 1916. Het leverde drie sleutelfiguren de Nobelprijs op.
En zo leek het erop dat spookachtige invloeden op een afstand in de natuurkunde niet bestaan. En zelfs heden ten dage, in de moderne kwantumfysica, luidt de beste en meest succesvolle theorie dat er kwantumvelden verankerd zijn in ons universum die de media vormen via welke krachten worden voortgepland met de maximumsnelheid van het licht.
Non-lokaliteit omvat de verandering van een plek in de ruimte die ogenblikkelijk invloed uitoefent op een andere plek in de ruimte, onafhankelijk van de afstand tussen die twee plekken. Lokaliteit omvat de voortplanting van verandering op een plek in de ruimte door telkens aangrenzende plekken in die ruimte navenant te veranderen met de maximumsnelheid van het licht, onderweg naar een andere plek in de ruimte.
Spin
Elektronen beschikken over verschillende eigenschappen. Een van de meest in het oog springende is (negatieve) lading. Het Stern-Gerlach-experiment toonde aan dat ze over nog een eigenschap beschikken: kwantummechanische spin. De term is mogelijk wat verwarrend. Het verwijst geenszins naar het impulsmoment zoals we dat in de klassieke mechanica kennen; het heeft niets te maken met het klassieke draaien om een as. In feite valt het met geen mogelijkheid klassiek-mechanisch te beschrijven.
Niettemin, feit is, elektronen hebben een intrinsieke, kwantummechanische spin. Het valt te meten langs elke gewenste as – het maakt niet uit welke hoek die as maakt met enige horizontaal of verticaal. Zoals met alle objecten in de driedimensionale ruimte waar we in leven, kun je iedere hoek binnen de 360 graden kiezen – en dat in drie dimensies. Ten opzichte van welke as je ook kiest, kunnen elektronen echter maar twee spinoriëntaties hebben: met de klok mee of tegen de klok in2. Die laatste noemen we spin omhoog en die daarvoor noemen we spin omlaag, geheel volgens de rechterhandregel.
Symbolen
Omdat we de lezer graag serieus nemen, grijpen we hier de gelegenheid aan om enkele wiskundige symbolen door te nemen die van pas komen in deze en de volgende post.
Vanaf nu gebruiken het symbool $\lvert A \rangle$ voor de toestand van een elektron in Amsterdam met betrekking tot z’n spinoriëntatie. Zolang we er nog geen metingen aan hebben verricht, verkeert het elektron nog niet in een specifieke toestand. Echter, zodra we bijvoorbeeld langs de verticale as de spin gaan meten, kan de spin dus alleen maar spin omhoog of spin omlaag zijn. Laten we die twee mogelijke uitkomsten aanduiden met $\lvert \uparrow \rangle_A$ en $\lvert \downarrow \rangle_A$.
Analoog hieraan duiden we de toestand van een elektron in Boston aan met $\lvert B \rangle$ en zijn de twee mogelijke meetuitkomsten $\lvert \uparrow \rangle_B$ en $\lvert \downarrow \rangle_B$.
Aangenomen dat de toestand van het elektron in Amsterdam nog niet gemeten is, kunnen we dit met betrekking tot z’n spin wiskundig opschrijven als een combinatie van beide mogelijke spin-toestanden:
$$\lvert A \rangle = \alpha \lvert \uparrow \rangle_A + \beta \lvert \downarrow \rangle_A.$$
Dit is waarom natuurkundigen het op een haast poëtische manier hebben over een deeltje dat – zolang het niet gemeten is – in beide spin-toestanden tegelijk verkeert, terwijl het nauwkeuriger is om te zeggen dat ze nog geen specifieke toestand hebben. Wiskundig gezien is de toestand een amalgaam van alle mogelijke, in een lineaire superpositie gebrachte (bij elkaar opgetelde), algebraïsche oplossingen van de Schrödingervergelijking. Vandaar dat men spreekt over een ‘deeltje in superpositie’.
Wat zijn die $\alpha$ en $\beta$? Dat zijn de waarschijnlijkheidsfactoren die we nog even moeten vinden. De waarschijnlijkheidsinterpretatie van Born stelt dat als we het kwadraat van de (modulus van de) golffunctie (de toestand) nemen, dat we dan de waarschijnlijkheid(sdichtheid) verkrijgen van eender welke mogelijke meetuitkomst. Experimenten toonden aan dat spin-omhoog en spin-omlaag beide in 50% van de gevallen uit de meting komt. Met andere woorden, de waarschijnlijkheid voor beide spin-toestanden is precies $\frac{1}{2}$. Dus als $\alpha=\beta=\frac{1}{\sqrt{2}}$, dan is het kwadraat daarvan $\lvert\alpha\rvert^2 = \lvert\beta\rvert^2 = \frac{1}{2}$. Immers, $(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2}$ en dat is precies wat we willen. Dus de toestand (golffunctie) van ons Amsterdamse elektron met betrekking tot spin wordt dan genoteerd als
$$\lvert A \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \lvert \uparrow\rangle_A + \frac{1}{\sqrt{2}} \lvert \downarrow\rangle_A.$$
Analoog hieraan is de toestand van het elektron in Boston met betrekking tot spin dan
$$\lvert B \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \lvert \uparrow\rangle_B + \frac{1}{\sqrt{2}} \lvert \downarrow\rangle_B.$$
Met andere woorden, de toestand van een elektron voor een meting is de som van alle mogelijke toestanden (vermenigvuldigd met een waarschijnlijkheidsfactor, in dit geval is dat dus $\frac{1}{\sqrt{2}}$).
In het geval van een spinoriëntatie ten opzichte van de verticale as, zoals hier, is de toestand van het elektron dus de som van twee mogelijke toestanden, spin-omhoog $\lvert \uparrow \rangle$ of spin-omlaag $\lvert \downarrow \rangle$.
Nota bene: er zijn andere mogelijkheden. We hadden ook een meting kunnen verrichten langs de horizontale as. Ook dan zijn er maar twee spinoriëntaties mogelijk, maar die zouden we dan kunnen representeren met de symbolen spin-links $\lvert \leftarrow \rangle$ of spin-rechts $\lvert \rightarrow \rangle$. Of we hadden de spin langs assen onder een hoek van 120 graden ten opzichte van de verticale as kunnen meten. Dan zouden we $\lvert \nwarrow \rangle$ en $\lvert \searrow \rangle$ of $\lvert \nearrow \rangle$ en $\lvert \swarrow \rangle$ kunnen gebruiken. We gaan hier nog verder op in tijdens de bespreking van de Stelling van Bell in de volgende post.
Kwantumverstrengeling
Dus, wat is kwantumverstrengeling nu precies? Zoals inmiddels al herhaald is de golffunctie de meest complete beschrijving van een deeltje. Dit betrof echter meestal een vrij, enkel deeltje dat verder niet met iets of wat dan ook interacteerde. In het geval van kwantumverstrengeling gaat dit echter niet meer op.
Als de toestand van een deeltje niet langer beschreven kan worden zonder de beschrijving van de toestand van een ander deeltje, zijn deze twee deeltjes kwantumverstrengeld. Met andere woorden, het is niet langer mogelijk om van ieder deeltje afzonderlijk een golffunctie te formuleren. Ze kunnen alleen nog maar samen, als één systeem van twee deeltjes, door middel van één en dezelfde golffunctie worden beschreven.
Dit heeft verstrekkende gevolgen. Stel dat onze twee elektronen op zo’n manier kwantumverstrengeld zijn dat ze altijd elkaars tegengestelde spinoriëntatie bezitten3. Dus als de een spin-omhoog is, $\lvert \uparrow \rangle$, is de andere altijd automatisch spin-omlaag, $\lvert \downarrow \rangle$, of vice versa4. Nu hebben we dus een systeem met twee deeltjes die altijd elkaars tegengestelde spin hebben, hetgeen betekent dat de totale spin van het systeem gelijk is aan 0, nul. Laten we de totale spin van ons systeem voortaan aanduiden met $\lvert S \rangle$.
Voordat de meting plaatsvindt, worden de elektronen van elkaar gescheiden. Een blijft achter in het laboratorium in Amsterdam, de ander gaat op transport naar Boston. Beiden verkeren op dit moment nog steeds in superpositie, geheel volgens hun ene golffunctie. Ze hebben geen exacte locatie (hoewel op het moment van meting de een zeer waarschijnlijk in Amsterdam zal zijn en de ander in Boston), hun energieniveau’s zijn niet scherp gedefinieerd en hun spin is omhoog noch omlaag.
We kunnen deze situatie met betrekking tot spin weergeven als volgt:
$$\lvert S \rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \left( \lvert \uparrow \rangle_A \lvert \downarrow \rangle_B – \lvert \downarrow \rangle_A \lvert \uparrow \rangle_B \right).$$
Oftewel, de totale spin $\lvert S \rangle$ van ons systeem met twee deeltjes is een combinatie van twee situaties: het elektron in Amsterdam is spin-omhoog en dat in Boston spin-omlaag of het elektron in Amsterdam is spin-omlaag en dat in Boston is spin-omhoog. We trekken de producten van elkaar af omdat de totale spin gelijk is aan 0, weet je nog? Ten slotte worden beide toestanden vermenigvuldigd met de breuk $\frac{1}{\sqrt{2}}$ omdat beide toestanden 50% kans hebben om als resultaat te verschijnen (wat je krijgt als je alles kwadrateert).
Wat betekent dit nu? Zodra je een meting op het elektron in Amsterdam uitvoert en het resultaat is dat het spin-omhoog is, is het elektron in Boston ogenblikkelijk spin-omlaag ten opzichte van de gemeten as in Amsterdam. En dit terwijl de kans vóór de meting nog steeds 50% was. Hoe ‘weet’ het elektron in Boston wat de meetuitkomst in Amsterdam was? En hoe weet het dat zo snel? Sneller dan het licht, nota bene! Bovendien blijkt dat je bij het andere elektron altijd een specifieke spin tegengesteld aan die van het eerste gemeten elektron verkrijgt. Dus ineens is de kans 100% dat de meetuitkomst in Boston een tegengestelde spin is. (Of vice versa.) Er treden geen enkele uitzonderingen op!
Met andere woorden, zodra we de meting uitvoeren, verandert de wiskundige beschrijving van
$$\lvert S \rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \left( \lvert \uparrow \rangle_A \lvert \downarrow \rangle_B – \lvert \downarrow \rangle_A \lvert \uparrow \rangle_B \right)$$
naar
$$\lvert S \rangle = \lvert \uparrow \rangle_A \lvert \downarrow \rangle_B,$$
oftewel, de toestand van de totale spin is gelijk aan de spin-omhoog voor het elektron in Amsterdam en in Boston spin-omlaag, of, vice versa:
$$\lvert S \rangle = \lvert \downarrow \rangle_A \lvert \uparrow \rangle_B.$$
En hier is het verbluffende: de uitkomst van de meting van deeltje A heeft dus instantane gevolgen voor de spin van deeltje B, ongeacht de ruimtelijke afstand tussen de twee deeltjes. Tot zover lokaliteit dus. Welkom terug, non-lokaliteit.
Einstein accepteerde deze kwantummechanische voorspelling. Echter, hij had er niets mee. Hoe kon het deeltje onmiddellijk weten welke spintoestand aan te nemen terwijl Einsteins verbluffend succesvolle theorieën van relativiteit op de universele wet leunden dat niets sneller kan gaan dan de snelheid van licht? Hij accepteerde de theorie, maar concludeerde dat de theorie nog niet compleet was. Er moest nog sprake zijn van een verborgen mechanisme dat ze over het hoofd zagen.
Einsteins poging om het principe van lokaliteit en de universele snelheidslimiet te redden zullen we in de volgende post bespreken. De stelling van John Bell en het experiment van Alain Aspect zullen dan ook aan bod komen. Tot die tijd laten we de vraag of Einstein gelijk kreeg ‘ter overdenking over aan de lezer’.
[1] Newton, I. (1756) Four Letters from Sir Isaac Newton to Doctor Bentley: Containing Some Arguments in Proof of a Deity [Online]. Available here. (Accessed: 14 May 2020)
Uitgelichte illustratie door KJ Runia
- De eerlijkheid gebiedt me te zeggen dat ik op het moment van schrijven niet zeker weet of dit de juiste Nederlandse term is voor het Engelse non-locality. Hetzelfde geldt voor ‘lokaliteit’, oftewel locality.[↩]
- Inderdaad, dit klinkt alsof ze toch om hun as roteren in de klassieke zin van het woord. En wellicht, in zekere, diepere zin, is dat wat het toch gedeeltelijk is, maar hoe dan ook verdient dit een eigen post. Voorlopig moeten we helaas maar accepteren dat onze taal te simplistisch is om klassieke termen voor het beschrijven van kwantummechanische fenomenen te vermijden – wat helaas misleidend is.[↩]
- De productie van spinverstrengelde elektronen is niet makkelijk, maar slimme experimenteel-natuurkundigen hebben zo hun trucs.[↩]
- Het is ook mogelijk om ze zodanig met elkaar te laten correleren dat de spin identiek is, maar in ons voorbeeld even niet dus.[↩]
