Kwantum­verstrengeling: de EPR-paradox en de stelling van Bell


Als de toestand van een subatomair deeltje alleen maar beschreven kan worden door een golffunctie in combinatie met de toestand van een ander subatomair deeltje dan spreken we van kwantumverstrengeling. Dit is het speciale geval waarbij beide deeltjes alleen beschreven kunnen worden door een en dezelfde golffunctie. Ze zijn geen losse entiteiten meer. Het verbluffende gevolg hiervan is dat het verrichten van een meting op het ene deeltje een onmiddellijk effect heeft op de meting van het andere deeltje, onafhankelijk van de fysieke afstand tussen de twee. In deze post, deel twee van onze miniserie over kwantumverstrengeling, zullen we de EPR-paradox van Einstein en zijn collega’s bespreken. Daarna bespreken we de stelling van Bell, die natuurkundigen in staat stelde om Einsteins voorstel te testen. Had Einstein gelijk?

Een schematische weergave van een elektron. Let wel, dit is niet hoe een elektron er werkelijk uitziet noch ziet een elektronspin er zo uit. De kwantumwereld is zo anders dat klassieke noties zoals die hier zijn toegepast eigenlijk niet langer voldoen. Hier doen we alsof het elektron een vervagende bal is die ogenschijnlijk om een as draait, maar eigenlijk is dat het niet en doet dat het niet. Het is nu eenmaal het beste wat we hebben. Hoewel, eigenlijk is het beste dat we hebben de wiskundige expressie die we golffunctie noemen.

Korte samenvatting

Hier volgt eerst een korte samenvatting van de vorige post van dit tweeluik:

1. we maken gebruik van de eigenschap genaamd spin om onderscheid te maken tussen de twee verstrengelde elektronen;

2. de oriëntatie van de spin van het elektron wordt aangeduid met spin-omhoog (tegen de klok in) of spin-omlaag (met de klok mee) ten opzichte van de as waarlangs de meting wordt verricht;

3. het is mogelijk om een willekeurige as te kiezen waarlangs je de meting uitvoert, in drie dimensies;

4. onafhankelijk van welke as je kiest, het meetresultaat zal altijd of spin-omhoog of spin-omlaag zijn (er is geen spin-schuin-naar-rechts bijvoorbeeld);

5. we zijn in staat om deeltjes op zo’n manier met elkaar te verstrengelen dat ze óf altijd tegengestelde spin óf altijd identieke spin zullen vertonen na meting; eenmaal op deze manier geprepareerd zullen ze nooit van dit patroon afwijken na meting;

6. in de vorige en in deze post maken we gebruik van de tegengestelde-spin-configuratie;

7. kwantummechanica stelt dat elektronen nog geen specifieke spinoriëntatie hebben vóór de meting: de golffunctie bevat alle mogelijke meetuitkomsten en in dit geval is dat dus spin-omhoog én spin-omlaag (of, iets anders geformuleerd, ‘in dit geval is dat dus nog geen definitieve spinoriëntatie’)1;

8. zodra je, langs een willekeurige as, een meting verricht aan een van de twee elektronen, klapt de spin van het andere elektron onmiddellijk in de tegenovergestelde richting langs dezelfde as, ongeacht de ruimtelijke afstand tussen de twee deeltjes2.

EPR-paradox

Einstein had begrip van kwantummechanica zoals weinig anderen en hij accepteerde de voorspellingen en resultaten ervan, maar hij had weinig op met de niet-lokale implicaties. Hij had moeite met punt 8 van de vorige paragraaf. Er is hier immers sprake van nul tijdsverschil tussen de beïnvloeding van een deeltje in Amsterdam (door het meten van zijn spin) en het fysieke gevolg hiervan voor het verstrengelde deeltje in Boston. Het overtreedt het centrale concept van Einsteins speciale relativiteit: geen signaal of informatie – of wat dan ook in dit universum – kan sneller zijn dan de snelheid van het licht3 anders zou causaliteit niet bestaan. Met andere woorden, als informatie of signalen in staat waren om sneller dan het licht te zijn, zouden gevolgen kunnen gebeuren vóór de oorzaken ervan hadden plaatsgevonden. Dat lijkt niet te rijmen met het universum waar wij in leven, om het zachtjes uit te drukken.

Einstein, Podolsky en Rosen (EPR) hypothetiseerden dat er iets anders, iets geheimzinnigs aan de hand was – verborgen voor theoretische en experimenteel natuurkundigen. De kwantummechanica zoals tot dan toe bekend, was volgens hen incompleet. Uiteraard erkenden zij het succes ervan maar als het kwantumverstrengeling betrof, meenden ze dat er iets miste in de theorie van de golffuncties.

Om het probleem van sneller-dan-licht op te lossen, stelden ze zich voor dat wat er werkelijk gebeurde was dat deeltjes zich altijd al in een specifieke toestand bevinden. Als het kwantumverstrengelde elektronenpaar van elkaar gescheiden wordt, hadden ze altijd al een specifieke toestand van spin-omhoog of spin-omlaag, vanaf het begin, toen ze werden geprepareerd.

Stel dat een paar handschoenen werden vervaardigd. Zoals alle handschoenen zijn ze altijd elkaars tegenpool met betrekking tot links- of rechtshandigheid4. De een is altijd linkshandig, de ander altijd rechtshandig. En als de een rechtshandig is, is de ander linkshandig. (Anders heb je een handschoen van een ander paar.)

Stel, de machine waarmee het handschoenenpaar werd gemaakt, doet iedere handschoen in een eigen doosje. Wij kunnen niet zien welke handschoen in welk doosje ging. Een doosje gaat naar Amsterdam en de andere gaat naar Boston. Experimenteel natuurkundigen openen het doosje in Amsterdam: het is de rechtshandige! Nu weten we onmiddellijk welke handschoen in Boston is: de linkshandige. Geen magie, geen non-lokaliteit, geen lichtsnelheid brekende fratsen.

Einstein en vrienden zeiden dat het zo ook met de verstrengelde elektronen het geval moet zijn. Het elektronenpaar had altijd al een specifieke spinoriëntatie, vanaf het begin al. Pas in Amsterdam en Boston verrichten we de metingen. Het is dan natuurlijk alleen maar logisch dat als je weet welke spin het elektron in Amsterdam heeft, je meteen weet welke spin het elektron in Boston heeft.

Dus, concludeerde Einstein, non-lokaliteit is een illusie. Het betreft allemaal heel normaal en gewoon de lokale wetten van de natuur en een beetje logisch nadenken. Ten eerste is de spinoriëntatie simpelweg verborgen voor ons en niet principieel nog onzeker. Ten tweede is er geen spookachtige werking op afstand[1], zoals hij het uitdrukte5.

In het alledaagse spraakgebruik noemen natuurkundigen dit de lokale variant van een verborgen-variabelentheorie. ‘Verborgen variabelen’ verwijzen hierbij min of meer naar de deeltjeseigenschappen die we nog niet kunnen zien (zoals spinoriëntatie of variabelen die deze beïnvloeden) omdat onze kwantummechanische beschrijving (de golffunctie) incompleet is. Niettemin, stelt Einstein, de eigenschappen zijn al wel aanwezig, al wel in een specifieke toestand, en niet nog onbepaald tot een meting plaatsvindt.

De ongelijkheid van Bell

Helaas overleed Einstein in 1955. En Niels Bohr, de grote natuurkundige met wie hij graag debatteerde over de fundamentele aard van kwantummechanica, overleed in 1962. In beide gevallen te vroeg om John Stuart Bells artikel te lezen dat hij in 1964 publiceerde onder de titel ‘Over de Einstein Podolsky Rosen Paradox'[2]. Bell realiseerde zich dat Einsteins beschrijving van wat er zich werkelijk achter de schermen afspeelde zich in principe leent voor experimenten. Einsteins voorstel bracht een duidelijke voorspelling met zich mee, beter bekend als de ongelijkheid van Bell.

In het Nederlands is dat mogelijk wat ongelukkig geformuleerd, ‘ongelijkheid’; verwar het dus niet met ‘het ongelijk’. Er zijn trouwens meer ongelijkheden in de omloop die in de loop der tijd ontwikkeld en afgeleid zijn door natuurkundigen6. Om Bells ongelijkheid toe te lichten, maken we hier gebruik van een versie van David Mermin zoals hij die naar voren bracht in zijn fantastische Boojums All the Way Through: Communicating Science in a Prosaic Age[3].

Waar we ook gebruik van gaan maken is de mogelijkheid die genoemd is in punt 3 hierboven. We gaan de spinoriëntatie langs drie verschillende assen meten. Drie assen die onder een hoek van 120° ten opzichte van elkaar staan.

De eerste as betreft de spinoriëntatie langs de verticale as, die we zullen aanduiden met de volgende symbolen voor spin-omhoog en spin-omlaag:

$$\uparrow \downarrow$$

De spinoriëntaties omhoog en omlaag zullen ook langs de tweede as gemeten worden:

$$\nwarrow \searrow$$

En de spinoriëntaties langs de derde as geven we weer als:

$$\nearrow \swarrow$$

Stel je nu twee verstrengelde elektronen voor die van elkaar worden gescheiden. De gebruikelijke kwantummechanische beschrijving van ieder elektron is dat ze zich in een superpositie van spin-omhoog en spin-omlaag bevinden, langs alle drie assen.

Behalve dan dat Einstein zegt, nee, nee, nee, dat is niet echt zo: verborgen achter de ‘sluier van superpositie’ hebben ze in feite al een specifieke spinoriëntatie voor ieder van die drie assen. We weten simpelweg nog niet welke totdat we gaan meten!

Hij zegt dus dat het elektron in Amsterdam al in een specifieke spintoestand is voor alle drie de assen, zoals:

$$\left( \uparrow \searrow \swarrow \right)_A$$

Dus, langs as 1 is het spin-omhoog, langs as 2 is het spin-omlaag en langs as 3 is het ook spin-omlaag.

Einstein stelt verder dat het verstrengelde elektron in Boston dan logischerwijs in de tegenovergestelde spintoestanden verkeert:

$$\left( \downarrow \nwarrow \nearrow \right)_B$$

Einstein besluit dat zodra er een daadwerkelijke meting plaatsvindt in Amsterdam langs as 1, het natuurlijk logisch is dat je de tegenovergestelde spintoestand meet bij het elektron in Boston, langs dezelfde as!

Bells inzicht is vervolgens dat als je dit argument verder uitwerkt voor alle mogelijke combinaties van spintoestanden dat je een voorspelling kan doen over de verhouding waarin al die verschillende combinaties zich voordoen.

Ten eerste, stelt Bell, als je langs as 1 in Amsterdam meet, hoef je in Boston niet per se langs diezelfde as te meten: je kunt ervoor kiezen om langs as 3 te meten, bijvoorbeeld. Dus met de twee voorbeelden hierboven zou je als meetresultaten kunnen verkrijgen dat het in Amsterdam spin-omhoog is en in Boston óók spin-omhoog:

$$\left( \uparrow \right)_A \text{ en } \left( \nearrow \right)_B$$

Bell ging verder door te stellen dat als je het aantal combinaties omhoog-omhoog, omlaag-omlaag en natuurlijk omhoog-omlaag en omlaag-omhoog zou tellen, je dan uiteindelijk specifieke verhoudingen zal krijgen tussen deze combinaties. Als daarentegen zou blijken dat deze verhoudingen zich niet voordoen dan is Einsteins hypothese onjuist. In dat geval is er iets heel anders aan de hand dan Einstein zich voorstelde. De elektronen waren dan niet al in een specifieke toestand, wat betekent dat de non-lokaliteit bij metingen met kwantumverstrengeling daadwerkelijk bestaat!

Alles op een rijtje

Laten we alles even op een rijtje zetten. Laten we ons eerste voorbeeld van hierboven er weer bij pakken:

$$\left( \uparrow \searrow \swarrow \right)_A \text{ en } \left( \downarrow \nwarrow \nearrow \right)_B$$

Als je langs as 1 in Amsterdam en langs as 1 in Boston meet, verkrijg je spin-omhoog en spin-omlaag. Als je langs as 1 in Amsterdam en langs as 2 in Boston meet, verkrijg je spin-omhoog en spin-omhoog. En zo verder. We hebben het in een tabelletje weergegeven:

Hier zie je alle mogelijke combinaties van meetuitkomsten langs de drie mogelijke assen van het elektron in Amsterdam (A) en Boston (B). We gebruiken O voor OP (spin-omhoog) en N voor NEER (spin-omlaag).

Bell stelt verder dat als Einstein het juist had, en de spintoestanden langs deze drie assen allang bepaald waren, dat de hier weergegeven combinaties behoren tot de verwachte uitkomsten.

datLaten we ons vooral concentreren op de combinaties ON en NO. Met andere woorden, laten we ons richten op het aantal keren dat we tegengestelde spintoestanden meten, onafhankelijk van langs welke as we die meting uitvoeren. We hebben die met geel gearceerd.

Precies vijf van de negen keren zal de spincombinatie dus tegengesteld zijn.

Laten we de andere spincombinaties ook verkennen. Stel dat het elektron in Amsterdam stiekem in de volgende spintoestanden verkeert, $\left( \downarrow \nwarrow \swarrow \right)_A$, en het elektron in Boston is dan precies zijn tegenpool, $\left( \uparrow \searrow \nearrow \right)_B$. Als we opnieuw de keren tellen dat de meetuikomsten tegengesteld zijn (langs de verschillende assen dus), zijn dat wederom vijf van de negen keer.

Ik denk dat je nu wel in de gaten krijgt waar dit heen gaat. We gaan niet alle tabellen langs, maar we doen er nog eentje dan. Stel, het elektron in Amsterdam verkeert zich langs alle drie assen in de toestand spin-omlaag, $\left( \downarrow \searrow \swarrow \right)_A$, en, uiteraard, die in Boston verkeert voor alle assen in tegengestelde toestand, $\left( \uparrow \nwarrow \nearrow \right)_B$. In dat geval zouden we negen van de negen keer de tegengestelde spinresultaten verkrijgen.

Deze versie van Bells ongelijkheid stelt dus dat de kans (P) om tegengestelde spincombinaties te meten langs alle drie de assen minstens $\frac{5}{9}$ of 55% (en ten hoogste 1 of 100%) is. Met andere woorden, $P(\text{opposite}) \geq \frac{5}{9}$. Als deze ongelijkheid geschonden wordt door een experiment, is de onderliggende theorie bewezen onwaar.

Experimentele resultaten

In de afgelopen dertig jaar zijn vele experimenten uitgevoerd die allen een versie van Bells ongelijkheid toepasten. Meestal betrof het echter fotonen in plaats van elektronen en mat men polarisatie in plaats van spin.

Freedman en Clauser voerden de eerste Bell-test uit. Zij gebruikten een versie van de zogenaamde CH74-ongelijkheid[4].

Het bekendste experiment werd uitgevoerd door Alain Aspect en collega’s. In opvolging van Bells suggestie waren zij in staat om de twee metingen op de twee verschillende plekken langs verschillende assen uit te voeren die willekeurig werden uitgekozen nadat de deeltjes (fotonen in hun geval) uit elkaar werden gehaald maar voordat de deeltjes bij de meetapparaten arriveerden.

Bij alle experimenten werden geen van de versies van Bells ongelijkheden verkregen. In plaats daarvan was de statistische uitkomst overeenkomstig met wat je zou verwachten vanuit de kwantummechanica zoals we die toen en nu nog steeds kennen. De conclusie was dat Einsteins lokale verborgen-variabelentheorie incorrect was. Er is niets lokaal aan het meten van kwantumverstrengelde deeltjes.

In onze specifieke ongelijkheid bleek dat het aantal keren dat je tegengestelde spincombinaties verkreeg, precies te liggen op 50% van alle metingen en niet 55%.

Conclusies

Laten we samenvatten wat we hier hebben kunnen vaststellen.

In de kwantummechanica verkeren deeltjes waarop nog geen metingen zijn verricht zich nog niet in een definitieve, specifieke toestand. In plaats daarvan worden ze het beste beschreven door een golffunctie die alle mogelijke toekomstige toestanden omvat waar ze uiteindelijk in kunnen ‘omklappen’ zodra ze wel worden gemeten.

Als een deeltje alleen beschreven kan worden in combinatie met een ander deeltje, dat wil zeggen, beide deeltjes kunnen alleen beschreven worden door een en dezelfde golffunctie, dan zijn ze maximaal verstrengeld7.

Als de verstrengeling zodanig is dat de spinoriëntatie altijd op een bepaalde manier correleert – ongeacht of het identieke spin of tegengestelde spin betreft – dan heeft een meting op een deeltje, waardoor het in een van de mogelijke, specifieke toestanden klapt, een onmiddellijk effect op de toestand van het andere deeltje: het klapt ook onmiddellijk uit de waas van de golffunctie met het andere deeltje correlerende, specifieke toestand.

Einstein hield er niet van want het impliceerde dat er op een of andere manier informatie van het ene deeltje naar het andere deeltje werd getransporteerd met een snelheid die hoger lag dan die van het licht.

Samen met Podolsky en Rosen stelden hij voor dat deeltjes altijd al een verborgen toestand hadden. Daarmee konden ze non-lokaliteit omzeilen.

John Bell toonde aan dat je de EPR-hypothese kon testen. Latere experimenten toonden aan dat EPR het niet bij het juiste eind hadden.

Deeltjes ‘klappen’ wel degelijk in een specifieke toestand zodra ze gemeten worden waar ze voorheen zich in nog geen enkele specifieke toestand bevonden.

Dat betekende dat non-lokaliteit klopt. Er is geen andere manier waarlangs het andere deeltje in de juiste toestand klapt.

Niemand weet nog hoe dit kan. Er zijn verschillende niet-lokale, verborgen-variabelentheorieën in de omloop. Een van bekendste versies is het zogenaamde ER=EPR-vermoeden van Juan Maldacena en Leonard Susskind. Misschien iets voor een volgende keer om in te duiken.

Einsteins afkeer van deeltjes die zich nog niet in specifieke toestand bevinden totdat ze gemeten worden, brachten hem tot de roemruchte uitspraak: ‘God dobbelt niet’.

Helaas had hij het hier op twee niveaus niet bij het juiste eind. God8 dobbelt wel. Bovendien gooit Hij de stenen waar we ze niet kunnen zien. Zelfs God lijkt gebonden te zijn aan de onzekerheidsrelatie van Heisenberg. Maar dat is een ander onderwerp voor een ander bit of maths and physics.


[1] Einstein, A., Podolsky, B. and Rosen, N. (1935) “Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?,” Physical Review, 47(10), pp. 777–780. doi: 10.1103/PhysRev.47.777.

[2] Bell, J. S. (1964) “On the Einstein Podolsky Rosen Paradox,” Physics Physique Fizika, 1(3), pp. 195–200. doi: 10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.1.195.

[3] Mermin, N. D. (1990) Boojums all the way through : communicating science in a prosaic age. Cambridge England: Cambridge University Press.

[4] Fry, E. S. and Thompson, R. C. (1976) “Experimental Test of Local Hidden-Variable Theories,” Physical Review Letters, 37(8), pp. 465–468. doi: 10.1103/PhysRevLett.37.465.

[5] Aspect, A., Dalibard, J. and Roger Gérard (1982) “Experimental Test of Bell’s Inequalities Using Time-Varying Analyzers,” Physical Review Letters, 49(25), pp. 1804–1807. doi: 10.1103/PhysRevLett.49.1804.

Uitgelichte foto: theoretisch natuurkundige John Stuart Bell in het CERN, juni 1982 (CERN, CC BY 4.0)

  1. Analoog hieraan toonde het dubbelspleetexperiment aan dat vóór meting deeltjes nog geen specifieke locatie hebben.[]
  2. Of, als zij zodanig geprepareerd waren dat ze identieke spin zullen hebben, klapt het andere elektron natuurlijk in dezelfde spinoriëntatie langs de willekeurig gekozen as van meting bij het andere elektron.[]
  3. In een vacuüm.[]
  4. De meer algemenere term hiervoor is chiraliteit.[]
  5. In het Duits noemde hij het een ‘spukhafte Fernwirkung'[1].[]
  6. Behalve zijn originele ongelijkheid is er bijvoorbeeld de veelal toegepaste CHSH-inequality (Engels).[]
  7. In de praktijk, in de echte wereld, zijn deeltjes niet maximaal verstrengeld zoals we die kunnen verstrengelen in het laboratorium. De wereld is te rommelig voor deze ‘pure verstrengeling’. Er zijn simpelweg te veel deeltjes om niet met andere deeltjes te interacteren. Ieder deeltje zal zonder uitzondering interacteren met triljarden andere deeltjes en dus zal de coherentie van ieder beetje verstrengeling al snel verzwakken of zelfs geheel verdwijnen. Iedere interactie is een meting. Omdat onze hersenen heel groot zijn en uit triljarden deeltjes bestaat, zullen ze nooit in een dergelijke pure toestand van superpositie noch verstrengeling kunnen verkeren. Laat staan dat ons nog veel grotere lichaam zich ooit in een of andere kwantumtoestand kan bevinden. Dat is statistisch zo onwaarschijnlijk dat je zo oud moet worden als $(10^{100})^{100}$ de leeftijd van het huidige universum om dat een keer mee te maken. En dat getal is alleen maar symbolisch bedoeld. Het is veel groter.[]
  8. We gebruiken het woord ‘God’ hier puur metaforisch. Het verwijst niet naar een entiteit van een specifieke religie zoals aanbeden door velen in verschillende samenlevingen.[]