Tegenwoordig weten we dat alle dingen om ons heen – de stoel waar we op zitten, het scherm waar we naar staren – uit allerlei verschillende soorten moleculen bestaan die op hun beurt weer bestaan uit verschillende soorten atomen. De oude Griekse wijsgeren zoals Democritus dachten al dat materie uit kleine, fysiek ondeelbare dingetjes bestaat – die noemden ze dan atomen.
De Grieken hadden het echter niet helemaal bij het rechte eind: ook het atoom bestaat weer uit elektronen, protonen en neutronen. En die laatste twee bestaan dan weer uit nóg kleinere dingen: quarks en gluonen.
Wat niet veel mensen weten echter is dat dit klassieke plaatje:
absoluut geen atoom is!
Oude ideeën
Als je je ophield in de verkeerde vriendenkring kan het zijn dat je werd wijsgemaakt dat elektronen als kleine planeetjes om de atoomkern heen cirkelden. Alsof het mini-zonnestelseltjes zijn. Dat klopt dus niet.
Andere foute vrienden konden je op de mouw hebben gespeld dat kwantummechanica iets magisch, iets spiritueels is, de toegangspoort tot een dieper inzicht in de liefde, het menselijk bewustzijn en ‘healing’. Telepathie zelfs! Ook dat zijn fantasierijke verzinsels.
Toegegeven, de beroemde fysicus Richard Feynman wordt nog vaak geciteerd. Hij zei dat niemand kwantummechanica begrijpt. In zekere zin is dat waar. Elementaire deeltjes gedragen zich niet als onze alledaagse objecten en dat is best vreemd. Bovendien vertellen de wiskundige vergelijkingen ons wel wat ze doen maar niet wat ze zijn. We kennen alle formules maar we weten niet per se wat ze betekenen – in tegenstelling tot bijvoorbeeld de simpele woorden ‘microscopisch kleine balletjes’.
Dat betekent echter niet dat we geen moeite hoeven te doen om elementaire deeltjes toch nuttig en voorspelbaar te maken voor onze beperkte hersenen. En daarmee meteen minder mysterieus en esoterisch. Het betekent geenszins dat we niet in staat zouden zijn om een verbluffende theorie van kwantumgedrag te benutten.
En dat is precies wat we hebben gedaan sinds kwantummechanica voor het eerst in de jaren twintig van de vorige eeuw werd geformuleerd. Vandaar dat we tegenwoordig beschikken over mobiele telefoons, computers, camera’s en zelfscankassa’s in de supermarkt.
Laten we er niet langer om heendraaien; tijd om tot de kern door te dringen.
Klassieke mechanica versus kwantummechanica
Op de middelbare school kregen we Newtoniaanse mechanica. We leerden dat de wereld geregeerd wordt door de drie wetten van Newton. De krachtigste was de tweede: kracht is massa maal versnelling,
$F=ma.$
We leerden dat als een object beweegt, het zich verplaatst volgens Newtons tweede wet. Het mooie van deze mechanica was dat fysici en ingenieurs hiermee in staat zijn om de toekomst te voorspellen (en het verleden te reconstrueren) van bijvoorbeeld een glijdend blok, gebaseerd op slechts een handjevol bekende startcondities.
Algemener uitgedrukt – en ietwat natuurkundiger – stellen we dat Newtoniaanse mechanica in staat is om de toestand van een systeem in de tijd met wiskundige, oneindige precisie te beschrijven, gebaseerd op een voldoende bekende set van initiële condities. We noemen dit een deterministische theorie aangezien het mogelijk is om het verleden en de toekomst van de toestand van een systeem te beschrijven. Dankzij deze eigenschap hebben zelfs ruimtevaartuigen zoals de Apollo Lunar Module en de Mars Rover Curiosity hun buitenaardse bestemmingen met succes weten te bereiken.
In de kwantummechanica bestuderen we het gedrag van subatomair spul, zoals elektronen en quarks. Na vele plotwendingen door de geschiedenis heen blijkt dat we hier eigenlijk niet zo goed in staat zijn om het verleden en de toekomst van, zeg, een elektron te voorspellen – althans niet zoals bij blokjes en balletjes in Newtoniaanse mechanica. Waarom niet? Omdat het simpelweg niet hetzelfde is als een blokje of een balletje. Het is in die zin niet eens een deeltje (aangenomen dat met deeltje een ‘kogeltje’ of ‘balletje’ wordt verstaan). Het is een golffunctie (wave function in het Engels), een wiskundige expressie dat alle mogelijke toestanden van een ‘deeltje’ beschrijft. Dat is zowaar een heel ander beestje.
Mogelijke toestanden? Ja, want in de kwantummechanica zijn de dingen niet zo deterministisch. Blijkt namelijk dat om de toestand van bijvoorbeeld een elektron te beschrijven Newtons tweede wet niet van toepassing is. Het is fundamenteel onmogelijk om te voorspellen (of te reconstrueren) waar een elektron zich bevindt op willekeurig welk tijdstip ook. Of hoe snel het zich voortbeweegt op een bepaald tijdstip. Het beste dat we kunnen doen is berekenen wat de waarschijnlijkheid is dat het zich hier of daar bevindt of die of deze snelheid heeft. Met andere woorden, de toestand van een elektron kan alleen worden uitgedrukt in waarschijnlijkheden.
Ook blijkt dat deze waarschijnlijkheden van de set van mogelijke toestanden in de tijd veranderen. Gelukkig is hier dan wél een vergelijking voor, net zoals in de Newtoniaanse mechanica. In de kwantummechanica hebben we de Schrödingervergelijking. Het vertelt ons hoe de golffunctie, de set van alle mogelijke toestanden van een deeltje, in de tijd verandert. In zijn meest compacte vorm1 luidt die:
$i \hbar \dfrac{\partial}{\partial t} \Psi = \hat{H} \Psi. $
Het is niet nodig om alle symbolen al te begrijpen, maar nu zie je dat er ook in de kwantummechanica een prachtige vergelijking centraal staat zoals bij Newtoniaanse mechanica2. Het geeft je de tijdsevolutie van $\Psi$, het symbool voor de golffunctie.
Deterministische theorieën zoals Newtoniaanse mechanica worden ‘klassiek’ genoemd waar kwantummechanica met probabilistische golffuncties te maken heeft3.
Golffunctie
Zoals we leerden in de vorige paragraaf is een deeltje geen deeltje. Toegegeven, we spreken nog steeds van een ‘deeltje’ maar dat is alleen maar bij gebrek aan een betere term. Het is een overblijfsel van de beperkte kennis van het universum die wij mensen vroeger hadden. Het concept van een deeltje past ook beter tussen de dingen die we al wel kennen. We kunnen ons een balletje voor de geest halen omdat we vroeger met balletjes speelden. Of knikkers. Toegegeven, soms lijken deeltjes op deeltjes, maar dat bespreken we in de laatste paragraaf.
Desalniettemin bewezen vroeg-twintigste eeuwse experimenten dat balletjes absoluut niet de juiste beeldvorming opleverden. Tegenwoordig vormen golffuncties onze beste beschrijving van ‘deeltjes’, wiskundige expressies. De fundamentele vraag is of de golffunctie het deeltje is of slechts een mathematische representatie ervan. Deze vraag is nog onbeantwoord, hoewel de mening van de auteur van deze post is dat na ongeveer een eeuw van de ongelooflijk succesvolle theorie van de kwantumwereld het misschien tijd wordt om de golffunctie te zien als dat wat een deeltje is.
Kijk, om het verschil tussen een deeltje en een golf te illustreren, eens naar dit puntachtige deeltje. De horizontale as is de x-coördinaat in de ruimte en de verticale as is de y-coördinaat in de ruimte.
Vertel eens, waar in de ruimte bevindt zich het deeltje? Je had het hoogstwaarschijnlijk meteen goed. Het bevindt zich op coördinaat (2,3). Goed.
Kijk nu eens naar deze (tweedimensionale) golf:
Vertel nu eens, waar in de ruimte houdt de golf zich precies op? Je vindt het hier misschien iets moeilijker om een specifieke set coördinaten op te hoesten. Dat komt omdat het zich op verschillende plekken tegelijkertijd ophoudt. Het heeft niet een specifieke positie. In natuurkundejargon spreken we van een superpositie.
Ditzelfde speelt een rol bij een elektron (of ieder ander ‘deeltje’). Het bevindt zich in een superpositie. En niet alleen in termen van zijn positie: het verkeert ook in een superpositie in termen van energie, impuls en nog een paar eigenschappen. Met andere woorden, het is op allerlei plekken tegelijkertijd op verschillende energieniveau’s tegelijkertijd, zich voortbewegend op allerlei snelheden tegelijkertijd.
Het is belangrijk om te weten dat de golffunctie absoluut niet hetzelfde is als een simpele sinusgolf in de normale ruimte zoals die hier puur ter illustratie is vertoond4.
Je begrijpt nu misschien hoe revolutionair kwantummechanica is vergeleken met de simpele mechanica van de balletjes en blokjes in ons alledaagse leven.
Plaatje van een atoom
Eindelijk zijn we dan gearriveerd bij het plaatje van het atoom. We weten dus inmiddels dat het elektron geen puntachtig deeltje is, het is een golffunctie. Hoe zien golffuncties er dan uit? Welnu, ze zijn wolkachtig, maar geen wolken, uitgesmeerd in de ruimte, maar ze hebben geen duidelijke omvang noch locatie. Ze hebben geen specifieke snelheid noch specifieke energieniveau’s. Ze bevinden zich in een superpositie van al deze toestanden. De waarschijnlijkheden van die toestanden kunnen in de tijd oscilleren zoals voorgeschreven door de Schrödingervergelijking.
Dat schiet zo niet heel veel op, nietwaar?
Vrees niet. Dillon Berger, een PhD-student in de theoretische deeltjesfysica aan de Universiteit van Californië, Irvine, heeft met gebruikmaking van de Schrödingervergelijking een prachtige animatie gemaakt van een dwarsdoorsnede van een waterstofatoom. De contouren representeren de golffunctie van een elektron. De kleuren geven de waarschijnlijkheid aan waarmee het elektron zich in die toestand bevindt als een functie van de tijd. Een waterstofatoom heeft overigens maar één elektron, dus wat je ziet is slechts één elektron. (De tijd in in de animatie is duizend biljoen keer vertraagd. De kern, een proton, is te klein, dus die zie je niet.)
Dus die hele kleine-balletjes-of-planeten-om-de-kern-draaiend-analogie? Vergeet het voorgoed.
Tenzij we kijken
Ho eens even, zou je kunnen zeggen. Hoe komt het dan eigenlijk dat professionele natuurkundigen het nog steeds over deeltjes hebben? En als je zegt, ‘geen specifieke omvang’, hoe verklaar je dan in de wetenschappelijke tabellenboekjes van de middelbare school we prima konden aflezen hoe groot de verschillende deeltjes zijn? En hoe verklaar je onderstaand klassiek geworden afdruk van een nevelvat die het bestaan van een nieuw subatomair deeltje aantoonde? Die kromme baan lijkt absoluut als iets dat een puntachtig deeltje zou maken en totaal niet wat een golf zou achterlaten.
Het is zeer begrijpelijk dat je, in het licht van deze empirisch verkregen gegevens, dat hele verhaal over golffuncties in twijfel trekt. Je bent hiermee gestuit op een mysterie in het hart van de kwantummechanica, een Nobelprijs waardig. Het heeft natuurlijk ook een naam: het meetprobleem.
Gebleken is dat deeltjes inderdaad golffuncties zijn maar alleen als we niet kijken. Zodra we metingen verrichten, waarbij we bijvoorbeeld de positie proberen te bepalen, zullen we ze niet op allerlei plekken vinden, zoals een golf. In plaats daarvan zullen we ze op een specifieke plek aantreffen – precies zoals we zouden verwachten van een puntachtig deeltje!
Dit is wat het beroemde tweespletenexperiment aantoonde. In een andere post gaan we hier nader op in.
Dit is de reden dat je heden ten dage misschien hebt gehoord van ‘golfdeeltjedualiteit’ van de subatomaire wereld. De golffunctie is de meest complete beschrijving van een deeltje. Zodra we metingen verrichten zien we enkele een minuscuul segment van de oorspronkelijke golffunctie, niet meer dan een scherf van de set van alle mogelijke toestanden.
Om die reden toont Dillon Bergers animatie dan ook een waterstofatoom dat volstrekt met rust gelaten wordt. Het is zijn fundamentele bestaanstoestand: een elektrongolffunctie in superpositie, oscillerend in de tijd volgens de Schrödingervergelijking. Maar zodra er sprake is van interactie met zijn omgeving zal er slechts een metaforische snede uit zijn volledige existentie zichtbaar worden (een snede die correspondeert met het uiterlijk vertoon van een puntachtig deeltje).
Hoe dit gebeurt of wat er eigenlijk gebeurt als we een meting verrichten is nog onduidelijk. Hier zullen we in een andere post nader op in gaan, waarbij we verschillende interpretaties de revue zullen laten passeren. Verwacht een post over de Kopenhaagse interpratie, de Vele-wereldeninterpratie en andere pogingen.
Nu heb je in ieder geval een beter beeld van een atoom. Waarschijnlijk.
- Hoewel, technisch gezien, als je Newtons notatie gebruikt in plaats van die van Leibniz, een nog compactere vorm $i \hbar \dot{\Psi} = \hat{H} \Psi$ is.[↩]
- Er zijn andere manieren om de tijdsontwikkeling van een golffunctie te berekenen, zoals de matrixmechanica van Heisenberg, Feynmans padintegralen of Diracs combinatie van matrixmechanica en de Schrödingerverglijking. Echter wordt de hier vermelde wijze zonder uitzondering gedoceerd aan bachelorstudenten.[↩]
- Merk op dat de Schrödingervergelijking zelf deterministisch is. De golffunctie herbergt daarentegen de waarschijnlijkheden. Of, als je een Pietje Precies bent, zoals ik, geeft de normkwadraat van de golffunctie de waarschijnlijkheidsdichtheid (door deze te integreren over een volume, een oppervlak of een afstand).[↩]
- En, inderdaad, als je een voorgaande post over lichtbreking in glas had gelezen, weet je dat ‘deeltjes’ oscillaties zijn van hun respectievelijk, driedimensionaal kwantumveld in de kwantumveldentheorie. De golffunctie speelt een centrale rol in deze ongelooflijk succesvolle theorie. Ten tweede is de golffunctie een zogenaamde complexe functie en bestaat daarmee in de zogenaamde complexe ruimte $\mathbb{C}$ en niet in de ‘gewone’ getalsruimte $\mathbb{R}$ waar we allemaal mee opgroeiden. Ten slotte – en dit is de avant-garde van moderne, theoretische natuurkunde – is er eigenlijk slechts één golffunctie, de golffunctie van het universum. Ieder veld en deeltje vormen slechts kleine stukjes van die golffunctie, die niettemin als kleine, individuele golffuncties gezien kunnen worden om het hanteerbaar te houden.[↩]
