Het is misschien niet zo beroemd als Einsteins formule, maar het is niet ondenkbaar dat je er ooit toch iets van hebt gehoord, de onzekerheidsrelatie van Heisenberg, of, in het Engels, ‘Heisenberg’s uncertainty principle’. Het speelt een belangrijke rol binnen de quantummechanica. Het zou kunnen dat je gehoord hebt dat het gaat over de verstoring van een meting door het meetapparaat: ieder instrument bezit een inherente meetfout plus dat je simpelweg het te meten systeem altijd verstoort door de simpele act van meting zelve. Het zou kunnen dat je gehoord hebt dat de onzekerheidsrelatie van Heisenberg bewijst dat je nooit zeker kunt zijn van je metingen en dat het ons in feite leert dat je nooit zeker kunt zijn van wat het universum ons als het ware vertelt. Mijn excuses als de volgende reactie onnodig vaag klinkt en ruimte voor interpretatie overlaat, maar dit alles is lariekoek. Tijd om er eens goed naar te kijken, nietwaar? Wat betekent het nou echt?
Fouriertransformatieparen
Of het één, of het ander. Wie heeft er geen hekel aan? Herinner je je nog dat je ouders zeiden dat je dit kon hebben, maar dan niet dat? Of misschien een beetje van zus maar dan ook maar een beetje van zo. Of een beetje van hier maar dan ook maar een beetje van daar. Niet verrassend misschien dat minstens drie beroemde filosofen daar wat woorden aan gespendeerd hebben. Eentje besloot voor rebellie te gaan en schreef: ‘I want it all, I want it all, and I want it now!’ (May, 1988). De andere twee stelden zich iets pragmatischer op en concludeerden: ‘You can’t always get what you want’ (Jagger & Richards, 1968). Ze hadden natuurlijk heel goed door dat je in het leven soms te maken krijgt met Fouriertransformatieparen. Een van de bekendere voorbeelden is dus de onzekerheidsrelatie van Heisenberg.
Als je het bereik van de mogelijke positie van een deeltje beperkt $(\Delta x),$ vergroot je het bereik van de mogelijke impuls1 in de $x$-richting $(\Delta p_x)$ en vice versa.
Dit is wiskundig als volgt geformuleerd:
$$\Delta x \Delta p_x \geq \frac{\hbar}{2}.$$
Het deltasymbool $\Delta$ staat dus voor een bereik van een bepaalde hoeveelheid. Normaal gesproken is $\Delta$ gedefinieerd als het verschil tussen twee waarden. Stel je voor dat op de schutting in je tuin zich een punt A bevindt. Het is $0.1$ meter van de muur van je huis verwijderd. En stel dat een punt B op diezelfde schutting $0.7$ meter van je muur verwijderd is. Dan is de $\Delta$ van deze afstanden, oftewel de lengte tussen punten A en B, gelijk aan $0.7 – 0.1 = 0.6$ meter.
Heisenbergs onzekerheidsrelatie stelt dat het product van deze twee bereiken groter is dan of gelijk is aan een bepaald getal. Dat getal is trouwens ontzettend klein. Het symbool $\hbar$ staat voor de constante van Planck gedeeld door $2 \pi,$ waarvan de uitkomst dan weer gedeeld wordt door $2$ in de onzekerheidsrelatie.
Dit betekent dat als de een groter wordt, $\Delta p_x$ bijvoorbeeld, dat de andere kleiner wordt, wat dan $\Delta x$ zal zijn. En vice versa.
Klik hier als je een beetje wiskunde wil doen. Het is supermakkelijk.Om iets meer gevoel te krijgen voor deze samenhang, maken we het iets gemakkelijker voor onszelf door te stellen dat $\frac{\hbar}{2} = 1,$ waardoor de formule verandert in $\Delta x \Delta p_x = 1.$ Voorts stellen we dat $\Delta x = 0.5.$ Welke waarde moet $\Delta p_x$ dan aannemen om te zorgen dat de vergelijking weer klopt? Precies, $\Delta p_x$ moet dan gelijk zijn aan $2,$ want $0.5 \times 2 = 1.$
Laten we vervolgens $\Delta x$ iets kleiner maken. Met andere woorden, we zorgen ervoor dat het bereik waarbinnen de positie van het deeltje kan verschijnen kleiner wordt. We preciseren kortom de positie. Stel dat $\Delta x = 0.001.$ Welke waarde moet $\Delta p_x$ vervolgens aannemen om aan de vergelijking te voldoen? Je raadde het vast al wel, $\Delta p_x$ moet juist groter worden: $\Delta p_x = 1000,$ aangezien $0.001 \times 1000 = 1.$ Als je het om zou draaien – waarbij $\Delta p_x$ kleiner zou worden – dan zou $\Delta x$ juist groter worden. Dan zouden we minder precies weten waar het deeltje zich ophoudt.
In werkelijkheid is $\frac{\hbar}{2}$ veel kleiner dan $1$. Het is ongeveer $5.273 \times 10^{-35} \text{ J/s}.$ Dat zijn vierendertig nullen achter de komma eindigend met 5273. Het is ongelooflijk klein. Hier komen we nog op terug.
Hopelijk gaf dit een beetje inzicht in hoe de relatie tussen $\Delta x$ en $\Delta p_x$ tot uitdrukking komen in Heisenbergs formulering. Ze complementeren elkaar. Als een bereik van mogelijke waarden groter wordt, oftewel, de $\Delta$ van waarde-opties wordt groter, dan neemt de zekerheid af waarmee je de uiteindelijke waarde kunt voorspellen. Vandaar het woord ‘onzekerheidsrelatie’2.
Maar waar komt deze relatie dan vandaan? Hoewel de onzekerheidsrelatie een centrale rol speelt binnen de quantummechanica is het in de basis geen quantummechanische wet. Het is zelfs een algemeen verschijnsel op verschillende vlakken in de natuurkunde en – algemener – in de wiskunde.
Wiskundigen noemen de variabelen positie en impuls Fouriertransformatieparen. Om in het jargon te blijven – ze worden ook wel geconjugeerde variabelen genoemd.
Geluid
Een bekend niet-quantummechanisch voorbeeld van de onzekerheidsrelatie is het bepalen van de toonhoogte van geluid. Hoe ‘hoog’ een noot is, hangt af van de frequentie.
De sinusgolf is een vertrouwd voorbeeld van geluid. Het is ook een heel simpel geluid. En verschrikkelijk saai.
De $x$-as is de tijd-as. De $y$-as is de amplitude van het geluid, oftewel het volume, de intensiteit. Zoals je kunt zien, zit er een patroon in het geluid: het herhaalt zichzelf, het is cyclisch. Een hele cyclus is als de curve omhoog, naar beneden, verder naar beneden en weer omhoog gaat. De tijd die het kost om een cyclus te completeren wordt aangeduid met het symbool $T$ en wordt ook wel de periode genoemd3. De curve van deze geluidsgolf wordt ook wel periodiek genoemd.
Hoe korter de periode – oftewel hoe sneller de cycli – des te hoger de toon. Anders gezegd, hoe hoger de frequentie, des te hoger te toon. De wiskundige relatie tussen de periode $T$ en de frequentie $f$ is als volgt:
$$f = \frac{1}{T}.$$
Als de periode korter wordt – de waarde van $T$ wordt kleiner – dan wordt de waarde van $f$ juist groter. De frequentie is hoger, de toon is hoger.
In Figuur 3 zien we dat de periode $T = 2 \pi$ seconden. Dat betekent volgens de wiskundige relatie tussen periode en frequentie dus dat de frequentie gelijk is aan $\frac{1}{2 \pi}$ Hz. In een frequentie-amplitude-diagram ziet het eruit als een scherpe piek. Let op, de $x$-as is nu de frequentie. De $y$-as is nog steeds de amplitude.
Nu hebben we dus twee manieren om een geluidsgolf te beschrijven: met frequentie (Figuur 4) of met verandering in de tijd (Figuur 3).
Merk op dat de geluidsgolf weergegeven als een functie van tijd (Figuur 3) geen begin noch einde heeft. Voor zover we weten zou die curve voor eeuwig door kunnen gaan. In beide richtingen van de tijd. Als iemand je vraagt wanneer precies dit geluid aanwezig is, is het antwoord: altijd. Er is geen specifieke tijd waarvan we kunnen zeggen dat het bestaat; het bestaat op alle momenten in de tijd.
Met andere woorden, $\Delta t = \infty.$
De frequentie-diagram is precies het tegenovergestelde: het is slechts een streep. Een duidelijke, scherpe piek. Als iemand je vraagt welke frequentie het geluid heeft, is het antwoord: het is exact $\frac{1}{2 \pi}$ Hz $( \approx 0.16)$ en het bestaat op geen enkele andere frequentie.
Fourieranalyse
In werkelijkheid duurt geluid niet oneindig lang. Het geluid van een trillende gitaarsnaar zal langzaam maar zeker wegvagen terwijl het energie afstaat aan de omgeving. Bovendien begon het ook op een specifiek moment: pas op het moment dat de gitarist aan de snaar tokkelde. Met andere woorden, in het echt bestaat een geluidsgolf gedurende een bepaalde periode in de tijd.
Laten we onze geluidsgolf inderdaad beperken tot een kleiner tijdsgebied, zodat het meer als een ‘bliep’ klinkt dan als een saaie, oneindige sinusgolf. Wederom representeert de $x$-as de tijd en de $y$-as de amplitude.
Zoals je kunt zien bestaat het geluid hier alleen binnen een bepaald tijdperk – ongeveer anderhalve seconde lang. Met andere woorden, $\Delta t \approx 1.5$ seconden in plaats van de vorige $\Delta t = \infty.$
Wat is dan de frequentie hiervan? Het is lastig om hier een juiste periode $T$ te vinden. De curve is nogal verschillend van die van een oneindige sinusgolf. Zeker, we kunnen een soort van cycli ontwaren, maar geen cyclus is dezelfde. We lijken hier te maken te hebben met verschillende cycli tegelijk. De frequentie-amplitude-diagram ziet er dan ook anders uit:
Zoals je kunt zien is het nu moeilijker om te exact de frequentie van de wavelet aan te wijzen. Het is een geluid met verschillende frequenties op verschillende amplitudes tegelijk.
Dus hoewel het tijdperk waarbinnen de geluidsgolf bestaat nu beter gedefinieerd is, is de frequentie opeens minder specifiek geworden.
De briljante wiskundige Joseph Fourier ontdekte dat een wavelet zoals die van Figuur 5 geconstrueerd wordt door vele verschillende, oneindige golven met verschillende frequenties bij elkaar op te tellen. Anders gezegd, Fourieranalyse toont aan dat onze wavelet het resultaat is van een superpositie van vele golven met vele frequenties.
Nu zie je waarom de frequentie-amplitude-diagram zo anders is ten opzichte van die van Figuur 4. Het betreft nu meer een combinatie van frequenties, zoals in Figuur 6 is weergegeven. In het laatste geval ‘bevat’ de wavelet verschillende golven met verschillende frequenties. Dus als je de tijd-amplitude-diagram Fouriertransformeert naar een frequentie-amplitude-diagram dan wordt het voorheen zo duidelijke frequentiegebied ineens een beetje ‘onzekerder’.
De relatie tussen tijd $\Delta t$ en frequentie $\Delta f$ in de ouderwetse, klassieke natuurkunde is fundamenteel complementair. Hier komt geen quantummechanica bij kijken.
In wiskundig jargon zijn tijd en frequentie zogeheten Fouriertransformatieparen of geconjugeerde variabelen.
De term ‘onzekerheidsrelatie’ heeft dus betrekking op het algemene fenomeen dat Fouriertransformaties (zoals die tussen tijd en frequentie) een fundamenteel, wiskundig compromis tussen de typen informatie van de twee variabelen met zich meebrengen. Heisenberg toonde vervolgens aan dat dit principe ook geldig is binnen de quantummechanica. Vandaar dat het in deze context de onzekerheidsrelatie van Heisenberg wordt genoemd.
De hypothese van De Broglie
Hoog tijd om weer terug te keren naar de quantummechanica. Herinner je je nog dat de beste beschrijving van een deeltje de golffunctie wordt genoemd? Een golffunctie is de wiskundige expressie van een deeltje dat alle mogelijke toestanden waarin het deeltje zich kan bevinden ‘omvat’.
In plaats van een tijd-amplitude-diagram maken we nu een ruimte-amplitude-diagram. Om het iets makkelijker te maken bekijken we de golffunctie van een deeltje waarvan de amplitude alleen varieert langs een enkele ruimtelijke dimensie die we met $x$ aanduiden.
Hieronder zie je de representatie van een golffunctie van een deeltje langs één ruimtedimensie (‘langs een rechte lijn’). De $x$-as representeert de positie in de ruimte. De $y$-as representeert de amplitude van de golffunctie (die proportioneel is aan de waarschijnlijk om het deeltje op die specifieke positie $x$ te vinden).
Het was de eminente, Franse natuurkundige Louis de Broglie4 die de relatie tussen de golflengte $\lambda$ en de impuls $p$ van een golffunctie legde.
$$\lambda = \frac{h}{p},$$
waarbij $h$ het symbool is voor de Planckconstante. Deze vergelijking staat trouwens bekend als de ‘matter wave’-hypothese van De Broglie. Hij stelde dat materie, zoals elektronen, een golfkarakter hadden5. Daarmee won hij de Nobelprijs.
Als we deze vergelijking enigszins omschrijven, oplossen voor $p,$ zoals dat heet, dan krijgen we
$$p = \frac{h}{\lambda}.$$
De grote van de impuls is dus afhankelijk de golflengte. Hoe kleiner de golflengte des te groter de impuls. Wat is de golflengte ook weer? Het is de lengte tussen twee pieken (of dalen). Hoe hoger de frequentie des te kleiner de golflengte. Kijk nog eens naar Figuur 8. Zoals je kunt zien, heeft de oneindige golf van een vrij deeltje een heel specifieke golflengte. De logische conclusie is dat de impuls juist dan een heel specifieke waarde heeft. Niettemin toont Figuur 8 ook aan dat de positie van het deeltje nog volstrekt onduidelijk is!
Laten we dit omkeren en het bereik van de mogelijke posities van het deeltje gaan beperken. Het is daarmee geen vrij deeltje meer. Het zit nu gevangen in een eindig bereik van mogelijke locaties.
In Figuur 9 is $\Delta x$ veel smaller dan in Figuur 8 (waar het oneindig groot was). Wat dat betreft, $\Delta x = \pi$ breed. Door middel van Fouriertransformatie – net zoals bij het tijd-frequentie-paar – wordt de complementaire zus van de positie-ruimte $\Delta x,$ namelijk de impuls-ruimte $\Delta p_x,$ ‘minder zeker’.
Om een golffunctie zoals die in Figuur 9 te construeren toont Fourier analyse aan dat wat je nodig hebt, een heel stel golven met verschillende frequenties bij elkaar opgeteld zal zijn.
Dus wat quantumdeeltjes betreft stelt de onzekerheidsrelatie van Heisenberg dat er een fundamenteel compromis bestaat tussen informatie over de positie en de impuls6. Het zijn Fouriertransformatieparen of geconjugeerde variabelen.
Dat betekent tevens dat als je een deeltje opsluit in een minuscuul kleine $\Delta x,$ de golffunctie van het deeltje meer impulswaarden $\Delta p_x$ zal bevatten. Het bezit nu veel meer snelheidsopties, inclusief de veel snellere snelheden. Als je vervolgens een meting uitvoert, is de kans dus groter geworden dat je een hoge snelheid meet!
Schaal en uitwerking
Op de schaal van de grote, boze wereld zullen we dit effect nooit zien. Als je een bowlingbal zou opsluiten in een klein kastje zul je zijn impuls (zijn snelheid) niet dramatisch zien toenemen. Het zal niet zomaar gaan stuiteren. Omgedraaid, als je de bowlingbal een flinke impuls zou geven, is het ook niet zo dat je plotsklaps niet meer weet waar hij precies is; de positie van de bal is nog steeds te volgen. Het zal niet zomaar dwars door de nog overeind staande pins gaan quantumtunnelen of tegelijkertijd in alle goten gaan rollen van alle banen naast je. Als het geen enkele pin raakt, is dat niet omdat het plotseling in een superpositie verkeert van alle mogelijke locaties waar het kan bestaan. Je bent dan gewoon niet zo goed.
Je zult dus geen quantumeffecten zien bij objecten op de schaal van het dagelijks leven. Alleen als je met elementaire deeltjes werkt. Of atomen. Maar zodra de massa toeneemt, wordt het al snel een ander verhaal. Waarom? Dat komt deels omdat de Planck constante zo klein is7. Het is slechts $5.273 \times 10^{-35} \text{ J/s},$ zoals je misschien nog weet. Dat is heel klein.
Al de kennis in deze post stelt ons in staat om een leuke berekening te doen. Stel dat je een bowlingbal met de maximaal toegestane massa van $7.2$ kg in een doos doet die net wat groter is dan de bal: $\Delta x = 22$ cm. Volgens de onzekerheidsrelatie van Heisenberg zou zijn snelheid dan $3.283 \times 10^{-35} \text{ m/s}$ kunnen worden. Dat betekent dat het na $965.9$ miljard jaar wellicht een afstand heeft afgelegd die even groot is als de breedte van een proton. Die tijdsduur is zeventig keer de leeftijd van ons huidig universum. Dus ja, het quantumeffect is niet gelijk aan nul, maar zoals je ziet (of liever, berekent), op de schaal van ons alledaags leven zijn die effecten volstrekt betekenisloos.
Soms proberen van die vreemde ‘documentaire-achtige’ films zoals What the #$*! Do We (K)now!? en What the Bleep!?: Down the Rabbit Hole je van alles te doen geloven over quantumdingen die we zouden kunnen ontwaren. Ze zullen ook de onzekerheidsrelatie van Heisenberg niet ongemoeid laten, als een soort magische kracht of mystieke natuurwet die ons in staat stelt om bovennatuurlijke dingen te doen of te zien. Ik hoop dat deze post aantoont dat dit niet is waar Heisenberg op doelde. En dat je nu weet dat de onzekerheidsrelatie an sich niet eens zijn wortels heeft in de quantummechanica. Het is simpelweg golfmechanica, de klassieke leerstof voor alle eerstejaars natuurkundestudenten, vaak al in het eerste of misschien het tweede semester.
Enkele maanden geleden stuitte ik op een videoclip van een Australische senator die vragen stelde aan het hoofd van de Commonwealth Scientific and Industrial Research Organisation, een federaal overheidsagentschap verantwoordelijk voor wetenschappelijk onderzoek en advies voor de Australische regering. Het was duidelijk dat de senator de klok had horen luiden, niet wetende waar de klepel hangt. Hij had vast ‘iets gelezen’ over de onzekerheidsrelatie van Heisenberg. Tijdens een hoorzitting van de Senaat vroeg hij zich af of de klimaatonderzoeken niet beter in twijfel getrokken moesten worden nu dat Heisenberg aantoonde dat metingen niet met zekerheid vastgesteld kunnen worden8.
Ik vermoed dat de discussie een studie betrof waarbij een satelliet infrarode straling gebruikt voor remote sensing van het aardoppervlak en/of atmosfeer. Hij ging namelijk verder door te stellen dat infrarood licht lagere frequenties heeft dan zichtbaar licht dus dat het volgens de onzekerheidsrelatie van Heisenberg heel erg moeilijk is om de eigenschappen van infrarode straling te bestuderen.
Er ging veel tegelijkertijd niet helemaal goed (ronduit fout) tijdens zijn korte spreektijd, zoals gebruikelijk is wanneer iemand de klok heeft horen luiden maar niet weet waar de klepel hangt. Begrijpelijk, maar het maakte het fragment er niet minder tenenkrommend van (de link opent een nieuw tabblad en leidt naar de korte video op Twitter).
Hoe dan ook hoop ik dat dit artikel op z’n minst een klein beetje bijdraagt aan de kennis van het electoraat van onze wereld, opdat we allen zo geïnformeerd en verantwoord mogelijk kunnen stemmen op de juiste personen voor de juiste posities, nog los van een ieders socio-economisch idealisme.
Als er iets is dat je hiervan hopelijk meekrijgt, dan is het dat de onzekerheidsrelatie van Heisenberg niet iets spiritueels betreft en dat het niets te maken heeft met wetenschappelijke meetfouten: het is goede, oude golfmechanica en Fourieranalyse zoals onderwezen aan undergraduates in hun eerste jaar op de universiteit. Het werkt en het werkt ontzettend goed. Het leidt niet tot de conclusie dat wetenschap niet in staat zal zijn om dingen te weten te komen over het universum. Wat dat betreft bewerkstelligt het precies het tegenovergestelde. Immers, je leest dit met een elektronisch apparaat dat bestaat bij gratie van onder andere Fourier, Heisenberg en De Broglie. En dat alles met een a bit of maths and physics.
Foto Werner Heisenberg door Friedrich Hund, een Duitse natuurkundige die de foto nam in Heisenbergs woonplaats, Göttingen in 1924. Het werd geüpload op Wikimedia Commons onder CC BY 3.0 door Friedrich Hunds zoon, Gerhard Hund, een Duitse wiskundige, informaticus, journalist en schaker. We hebben de kleurgecorrigeerde versie van Martin Geisler gebruikt.
- Impuls is het product van de massa $m$ en de snelheid $v,$ dus $p=mv.$ Het is een maat voor de hoeveelheid beweging van een object (zoals een deeltje).[↩]
- Uiteindelijk is het statistiek. Het $\Delta$-teken zou wat dat betreft beter $\delta$ kunnen zijn, zodat $\delta x \delta p_x \geq \frac{\hbar}{2},$ wat het statistische karakter beter representeert. Een golffunctie is per slot van rekening een beschrijving der waarschijnlijkheden.[↩]
- Het is ook mogelijk om de periode te meten tussen twee pieken of twee dalen.[↩]
- Vele natuurkundigen hebben het geprobeerd maar slaagden er niet in zijn achternaam goed uit te spreken. Het klinkt als ‘broi’ maar dan met de r achter in de keel, zoals de Fransen plegen te doen – een ‘droge’ r. In een interview met hem kun je de Franse presentator zijn naam correct uitspreken (net na 0:16 seconden). Het is dus niet ‘brog-lie’ of ‘bro-lie’. Dank.[↩]
- Diezelfde vergelijking toont aan dat het golfkarakter van grotere dingen zoals onze lichamen, hersenen, bowlingballen, tennisballen en dieren volstrekt verwaarloosbaar is, zoals we aan het einde zullen bespreken.[↩]
- Een ander paar vormen energie en tijd. Dit is interessant in de context van Hawkingstraling. Dat komt nog wel.[↩]
- En omdat de hoeveelheid interacties tussen atomen exponentieel groeit bij meer massa, wat ieder quantumeffect doet verdwijnen in een proces genaamd decoherentie.[↩]
- Goed, wat hij in feite deed was het op de hoorzitting naar voren brengen van een ‘wetenschappelijke’ reden voor het afwijzen van de conclusies van klimaatwetenschappers. Hij meent dan ook – niet geheel verrassend – dat er niets aan de hand is met het klimaat. Ik claim niet iets zinnigs af te weten van Australische politiek – ik ben tevens geen klimaatwetenschapper – maar als iemand iets beweert over quantummechanica, een senator in dit geval, dan weet ik daar wel degelijk wat over te vertellen.[↩]
