---

Complexe getallen fascineren sinds de middelbare school. Het is de plek waar we van alles leren over natuurlijke, gehele, rationale, irrationale en reële getallen, echter zelden over complexe getallen. Op allerlei plekken worden ze toegepast. Zo hadden elektronische apparaten zoals die waarmee je deze post leest niet bestaan als natuurkundigen, elektrotechnici en computerwetenschappers niet op de hoogte waren geweest van het geschenk van complexe getallen van zestiende-eeuwse wiskundigen. Deze post is voor wie geïnteresseerd is in een zachte inleiding in het domein van de complexe getallen.

Verbijsterd

‘Er bestaan dingen als negatieve getallen’, lichtte mijn vader toe toen ik zes of zeven jaar moest zijn geweest, want ik zat in de tweede klas van de lagere school. Hij legde het concept uit van negatief bezit als je iemand een aantal knikkers schuldig bent terwijl je minder dan dat aantal aan knikkers daadwerkelijk in je bezit hebt. Dit was een van die ik-weet-nog-waar-ik-was-toen-momenten. Als de dag van gisteren zie ik mezelf nog zitten, op de vloer, voor de lage salontafel in de woonkamer van ons rijtjeshuis in Emmeloord.

Ik herinner me dat ik precies hetzelfde gevoel had toen mijn vader me eerder vertelde dat de aarde niet plat was en mijn moeder me daar weer voor had verteld dat we op dat moment met de auto op de zeebodem reden. Mijn schedeldak vloog eraf. Het duurde wederom lang voordat ik er eindelijk slaagde om het kwartje in die kleverige, trage hersenen van mij te laten dalen – het negatieve kwartje, welteverstaan. Wat het lastig maakte, was het feit dat je negatieve getallen niet kon ‘zien’ zoals de andere getallen, zoals bij lengtes of het aantal knikkers¹.

Vol enthousiasme vertelde ik de juffrouw van mijn lagere school over negatieve getallen. Ze knikte slechts en gebood me toen om m’n taken af te maken – de saaie vorm van rekenkunde. Ze had een punt aangezien ik er niet goed in was.

Toen ik vijftien of zestien was, kwam ik het begrip complexe getallen tegen in een populair-wetenschappelijk boekje over kwantummechanica. Het feit dat ze ‘complex’ werden genoemd, wekte mijn nieuwsgierigheid op; ik nam foutief aan dat het betrekking had op de moeilijkheidsgraad van de soort getallen. Maar wat het meest fascineerde was dat er kennelijk zogenaamde imaginaire getallen bestaan! Ik had weer precies datzelfde gevoel. Mijn schedeldak smolt. Alles hieraan straalde een soort magische kracht uit. Wat was dit voor hekserij? Zou dit een poort kunnen vormen naar andere dimensies?

De volgende dag vertelde ik vol enthousiasme mijn leraar wiskunde op de middelbare school hierover, meneer Es – Es is niet zijn werkelijke naam maar het was zijn tweeletterige code in ons rooster. Ik vond het zowel terecht als toepasselijk dat Es ook het symbool is voor het element Einsteinium in het periodieke systeem. Omdat zijn voornaam ook nog overeenkwam, grapten mijn vrienden en ik wel eens dat we, desgevraagd, op weg waren naar de les van Albert Einstein.

Meneer Es deed wat iedere goede leraar doet als een scholier geënthousiasmeerd raakt over iets in hun vakgebied: hij moedigde het aan ­– in zijn geval door zijn oude leerboek van toen hij een eerstejaarsstudent wiskunde was in Amsterdam aan mij uit te lenen. Het was een inleiding over complexe getallen op wat we tegenwoordig undergraduate-niveau noemen.

Tot mijn schaamte moet ik bekennen dat ik het eigenlijk nooit terug heb gegeven. Dit was een van die gevallen waarbij ik, na de zoveelste verhuizing, dacht, omg, heb ik dit boekje nooit teruggegeven? Ik heb het altijd gekoesterd. Het heeft een speciale betekenis voor me. Het symboliseert die ene keer dat ik gezien werd, erkend werd in wat mij op dat moment inspireerde. Een ding dat ik niet echt kon delen met vrienden of andere mensen in mijn nabijheid, deelde ik plots met een heel intelligent persoon wiens naam werd aangeduid met het symbool voor Einsteinium.

Dankzij de wonderen van het internet geraakten we weer met elkaar in contact, ongeveer vijfentwintig jaar later. Ik biechtte op dat ik het boekje dus altijd had gehouden en bood mijn verontschuldigingen aan. Hij bleek zich inderdaad afgevraagd te hebben waar het was gebleven; hij had het aan iemand willen uitlenen. Maar ik kon het houden, aangezien hij toch de zolder verder aan het opruimen was. En hij was blij te zien dat wiskunde me ook in het latere leven blijvend geïnteresseerd had.

Ik voel me er nog steeds een beetje schuldig onder. Iemand anders had geïnspireerd kunnen raken zoals ik dat was. En nu ben ik er mogelijk schuldig aan dat dit in elk geval niet door zijn boekje zou komen. Dus wie je ook bent, mijn excuses!

Ik hoop op een dag dat ik op mijn beurt in staat zal zijn om een vonkje te doen overspringen voor de prachtige wiskunde van complexe analyse bij anderen. Ik hoop ook dat u, lezer, wellicht een fractie van de verwondering ervaart die ik voelde en dat het concept van ‘getallen’ er een zal blijken te zijn dat voorbij gaat aan uw imaginatie².

Getallen­verzamelingen

We zijn allemaal bekend met de natuurlijke getallen die we gebruiken om dingen mee te tellen. 1, 2, 3 etc. Sommige wiskundigen vinden dat 0 hierbij hoort, andere vinden van niet. Hoe dan ook betreft het hier de wiskundige verzameling die we dus de natuurlijke getallen noemen en we aanduiden met het symbool $\mathbb{N}$.

Mijn vader vertelde me vervolgens dat er dus zoiets bestaat als negatieve getallen, zoals -1, -2, -3, etc. Als je de natuurlijke getallen neemt en daaraan toevoegt deze verzameling negatieve getallen (inclusief de 0, voor zover dat nog niet gebeurd was), dan is het resultaat een geheel nieuwe getallenverzameling die we de gehele getallen noemen, aangeduid met het symbool $\mathbb{Z}$.

Om duidelijk te maken dat $\mathbb{N}$ een deelverzameling is van $\mathbb{Z}$, passen wiskundigen het symbool $\subset$ toe. Met andere woorden, $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$, oftewel, de natuurlijke getallen vormen een deelverzameling binnen de gehele getallen.

En dan zijn er natuurlijk de verhoudingsgetallen, de quotiënten, de breuken. Tussen 1 en 2 heb je 1,5 bijvoorbeeld. Dus in breuknotatie is dat $\frac{3}{2}$. Uiteraard zijn dat geen gehele getallen. Het zijn zogenaamde rationale³ getallen, naar het Latijnse ratio, omdat ze kunnen worden opgeschreven als een quotiënt van gehele getallen, een verhouding, een breuk. Deze getallenverzameling wordt gesymboliseerd door $\mathbb{Q}$. We hebben nu $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$.

Het is goed om hier op te merken dat deze notie van deelverzameling-van-een-deelverzameling leidt tot de misschien onverwachte conclusie dat ook 9 dus een rationaal getal is. Aan de oppervlakte is het een natuurlijk getal, of een geheel getal. Maar onder de oppervlakte kan het uiteraard ook opgeschreven worden als een rationaal getal: $9 = \frac{9}{1} = \frac{18}{2} = \frac{36}{4}$, bijvoorbeeld (en oneindig veel meer).

We zijn er nog niet. Breuken als 1,5 en 3,2 zijn eindig. Maar wat als de decimalen achter de komma maar niet stoppen? Wat als je getallen hebt die je niet kan opschrijven als een breuk, zoals de getallen $\pi$ en $\sqrt{2}$? Deze getallen noemen we de irrationale⁴ getallen. Dit betreft dus alle getallen die niet rationaal zijn. Hier is niet echt een symbool voor⁵.

Er is wel een symbool voor alle natuurlijke, gehele, rationale en irrationale getallen samen⁶. Al deze deelverzamelingen samen vormen wat we de reële getallen noemen en worden aangeduid met $\mathbb{R}$. Dit is de verzameling waarmee we feitelijk allemaal bekend zijn en waar we voortdurend in rekenen. We hebben nu dus $$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}.$$

De verzameling der reële getallen $\mathbb{R}$ bevat alle getallen. Of toch niet?

Het geheim van del Ferro, del Fiore, Tartaglia en Cardano

U raadt het al. Hier komen ze, de complexe getallen. Laten we eerst een heel klein beetje wiskunde doen. Herinnert u zich wat het kwadraat van een getal is? En vervolgens wat de wortel van een getal is? Wat is de wortel van 64, oftewel, $\sqrt{64}$? Ja, 8, heel goed. Want 8 keer 8, oftewel 8-kwadraat, oftewel $8^2$ is gelijk aan 64.

Mooi. Stel nu dat $x^2 = 64$, wat is $x$ dan? Hier doen we precies hetzelfde. We ont-kwadrateren $x$ door de wortel te trekken van $x^2$. En vanwege het =-teken, moeten we dat natuurlijk ook doen bij het getal achter het =-teken. Dus, $\sqrt{x^2} = \sqrt{64}$, en dus krijg je $x = 8$.

Dit soort sommetjes werden meestal gecombineerd met de praktische toepassing van het berekenen van de lengte van de zijden van het vierkante stuk land dat de boer bezit. Stel dat de oppervlakte van de vierkante akker is 64 vierkante kilometer. Hoe groot is dan een zijde van dat stuk land? Dat is dus 8 kilometer.

Al deze berekeningen vinden plaats in de wereld van $\mathbb{R}^+$, het positieve deel van alle reële getallen. Merk op dat geen oppervlak negatief kan zijn. Met andere woorden, een vierkant stuk land kan niet -64 vierkante kilometer groot zijn – dat is natuurlijk onzin. Tevens heeft de wortel uit -64 geen oplossing. Het is niet -8, want -8 keer -8, oftewel $(-8)^2$, is simpelweg weer gelijk aan 64 en niet -64, want een negatief getal vermenigvuldigd met een negatief getal is gelijk aan een positief getal zoals we bespraken in een eerdere post.

Ergens in de zestiende eeuw, ergens in Italië, loste Scipione del Ferro, lesgevend aan de Universiteit van Bologna, een probleem op dat hiermee te maken had. Het betrof hier niet een kwadratische maar een derdegraadsvergelijking. Waar wij uit ons hoofd de oplossing voor de kwadratische of tweedegraadsvergelijking $x^2 = 64$ konden vinden, vond del Ferro oplossingen voor een derdegraadsvergelijking zoals $x^3 + x^2 + 6x + 3 =0$. Del Ferro stond erom bekend nooit iets van zijn oplossingen en bewijzen te willen publiceren. Hij hield een geheim notitieboekje bij en dat was het dan.

Op zijn sterfbed deelde hij echter het geheim om de vergelijking op te lossen met zijn pupil Antonio Maria del Fiore. Die laatste daagde vervolgens de op dat moment in Venetië wonende Niccolò Fontana Tartaglia uit om het op te lossen. Tartaglia had het echter al even daarvoor zelf al opgelost. Hij vertrouwde Gerolamo Cardano, de op dat moment in Milaan gevestigde alleskunner en genie, vervolgens de oplossing toe in de vorm van niets minder dan een gedicht! Het was echter alleen de oplossing, maar niet het bewijs. Uiteraard was Cardano vervolgens zelf in staat om het bewijs te reconstrueren. Aangezien hij ontdekte dat de inmiddels overleden del Ferro de oplossing ook al had gevonden, besloot hij om zijn eigen versie te publiceren in zijn Ars Magna in 1545. Tartaglia nam hem dat niet in dank af.

En wat was nu het geheim waar al deze enorme hersens zo geheimzinnig over deden? Een nieuw getal.

imaginair

Laten we een iets simpeler voorbeeld nemen. Stel dat we de volgende simplistische kwadratische vergelijking hebben: $x^2 -4 = 0$. Om het op te lossen, ‘verplaatsen’ we de 4 naar de andere kant van het =-teken door 4 aan beide kanten erbij op te tellen: $x^2 -4 +4 = 0 + 4$, wat dan simpelweg verwordt tot $x^2 = 4$. Als je de wortel trekt aan beide zijden van het =-teken, verkrijg je $\sqrt{x^2} = \sqrt{4}$. De oplossing is dus $x=2$ en/of $x=-2$ (want -2 keer -2 is ook 4).

Goed. In feite probeerden de wiskundigen van de zestiende eeuw ook oplossingen te vinden voor een variant hierop: $x^2 + 4 = 0$. Laten we wederom de 4 naar de andere kant halen door nu 4 af te trekken van beide zijden: $x^2 + 4 – 4 = 0 – 4$, wat $x^2 = -4$ oplevert. Wederom is de vraag, wat is $x$?

Laten we ook hier weer de wortel proberen te trekken van beide zijden: $\sqrt{x^2} = \sqrt{-4}$. Halt. Stop. Wat is de wortel van -4? Wat is de wortel van een negatief getal?

We verkeren nu in dezelfde situatie als die waarbij we de wortel van een negatief oppervlak proberen te trekken. Het antwoord kan niet -2 zijn, want -2 keer -2 is niet -4. Wat nu?

Vóór Del Ferro, Tartaglia en Cardano zouden mensen hebben geconcludeerd dat er simpelweg geen oplossing bestaat. Maar dankzij hen kunnen we het nu wel oplossen! Het antwoord ligt in de volgende definitie: $$i^2 = -1.$$

Dit bedrieglijk eenvoudige concept stelt ons in staat om $x^2 = -4$ op te lossen. We kunnen dan namelijk schrijven $x = 2i$ en/of $x = -2i$.

Laten we de eerste oplossing bekijken. Als we dit kwadrateren krijgen we $x^2 = (2i)^2$, wat we ook kunnen schrijven als $x^2 = 2^2i^2$. Aangezien $i^2 = -1$ kunnen we dit substitueren zodat we verkrijgen: $x^2 = 2^2(-1)$ en dat is natuurlijk $x^2 = -4$. Tadaa! We zien dat $x= 2i$ dus een oplossing is voor $x^2 = -4$.

Hetzelfde geldt voor de andere oplossing $x = -2i$. Als we dit kwadrateren, verkrijgen we $x^2 = (-2i)^2$, en dat kunnen we schrijven als $x^2 = (-2)^2i^2 = 4i^2$. En als we ook hier weer $i^2 = -1$ substitueren, krijgen we $x = 4(-1) = -4$. Tadaa!

Welnu, wat voor duivels concept is dit $i^2 =-1$? De letter $i$ staat voor ‘imaginair’ en $i$ wordt een imaginair getal genoemd.

Aangezien $i^2 = -1$ kunnen we concluderen⁷ dat $i = \sqrt{-1}$. En dit is het verbluffende van de hele situatie: hoe kun je dan in hemelsnaam de wortel trekken van een negatief getal? Hoe bereken je de wortel van een negatief oppervlak? Het antwoord is: dat kan niet. Tenminste… niet in de wereld van de reële getallen $\mathbb{R}$. Inmiddels hebben we ons vertrouwde slootje aan de rand verlaten en zetten we onze eerste stappen in het uitgestrekte landschap van de complexe getallen. Dag $\mathbb{R}$, welkom in $\mathbb{C}$.

Enkele voorbeelden van complexe getallen: $2i$, $\frac{2}{3}i$, $i\sqrt{2}$, $i \pi$ en $-0,25i$. Bovendien kun je een reëel getal zoals 3 erbij optellen. Dat doe je zo: $3 + 2i$ of $3 + \frac{2}{3}i,$ etc. Deze combinaties zijn ook complexe getallen. Je kunt het en hoeft het niet verder te vereenvoudigen.

Een complex getal $z$ heeft de vorm $z = a + bi,$ waarbij $a$ en $b$ reële getallen zijn en $i^2 = -1.$ Het eerste reële getal, $a$, is het zogenaamde reële deel van $z$. Het tweede reële getal, $b$, is het zogenaamde imaginaire deel van $z$. De verzameling van alle complexe getallen wordt aangeduid met $\mathbb{C}$.

En aldus hebben we nu

$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}.$$

Merk op dat ieder reëel getal een complex getal is maar niet ieder complex getal is een reëel getal. Dat is wat het zijn van een deelverzameling van een andere verzameling betekent. Zo is bijvoorbeeld het reële getal 9 een complex getal waarbij $b =0$. Met andere woorden, het reële getal 9 kan worden geschreven als het complexe getal $9 + 0i$; het laatste, imaginaire deel valt weg want alles vermenigvuldigd met 0 is 0, dus houden we het getal 9 over. Het is dus naast complex ook reëel.

Echter, $z = 3 + 2i$ is geen reëel getal aangezien het imaginaire deel is niet gelijk aan 0. Dus $z$ is hier exclusief een complex getal.

Complexe vlak

Grafisch kun je de reële getallen van $\mathbb{R}$ zien als een punt op de getallenlijn.

Waar laat je dan de complexe getallen?

Dankzij mensen als Wallis, Wessel, Argand, Buée, Mourey, Warren, Français, Bellavitis, Gauss en Euler kreeg op een gegeven moment het antwoord op deze vraag zijn geometrische vorm[1]. Het idee is dat de reële getallenlijn werd uitgebreid met een imaginaire getallenlijn die loodrecht staat op de reële getallenlijn. Het resultaat is het zogenaamde complexe vlak, soms ook het argandvlak, gaussvlak of de $z$-plane genoemd.

Een complex getal zoals $z = 3 + 2i$ ‘omvat’ het getal $3$ langs de reële as en langs de imaginaire as het imaginaire getal $2i$. Een complex getal wordt dus altijd gerepresenteerd door een punt in een tweedimensionale ruimte. Merk op dat alle getallen binnen de deelverzamelingen van de complexe getallen, oftewel $\mathbb{R}$ tot en met $\mathbb{N}$, eveneens kunnen worden gerepresenteerd in dit tweedimensionale, complexe vlak – de punten liggen echter precies op de reële as.

Berekeningen met complexe getallen verwerden hiermee tot geometrische problemen! Wat dat betreft, een van de mooiste vergelijkingen in de wiskunde (wat mij betreft, althans) heeft betrekking op trigonometrie in het complexe vlak en heet de Formule van Euler.

Meer dan imaginair

Het is wat ongelukkig dat het getal $i$ en ieder product hiermee imaginaire getallen worden genoemd. De bekende Franse filosoof en wiskundige René Descartes was de eerste die de term toepaste omdat hij meende dat de getallen illusoir waren. Zelfs Cardano had de getallen al als duistere, derderangs soort dingen bestempeld[2].

Het is wat ongelukkig omdat het woord tegenwoordig onnodige, semantische ambiguïteit met zich meebrengt. Ik begrijp waar het vandaan komt: je zult nooit zoiets als $\sqrt{-1}$ in de echte wereld tegenkomen. Aan de andere kant zul je ook nooit zoiets als $\sqrt{2}$ tegenkomen en toch kan dat precies de lengte van de schuine zijde van een rechthoekige driehoek zijn waar een handige doet-het-zelver haar hand niet voor omdraait. Voor mij is een reëel getal zoals $\pi = 3.1415926535897 \dots$ waarvan de decimalen nooit stoppen net zo echt als ‘imaginaire’ getallen echt zijn (en vice versa). Cirkels bestaan er niet minder om en met $\pi$ kun je er prima berekeningen op loslaten. Welnu, met imaginaire getallen kun je er net zo goed berekeningen op loslaten.

Complexe getallen worden toegepast in een scala aan wetenschappen. In Einsteins relativiteit die bijvoorbeeld GPS-navigatie mogelijk maakt, kun je gebruik maken van zogenaamde imaginaire tijd. Het klinkt als iets dat rechtstreeks uit een sciencefictionroman afkomstig is, maar het is een prima gedefinieerd concept. Zo hebben we in een vorige post een afleiding gegeven van een centrale set vergelijkingen in zijn speciale relativiteitstheorie, de Lorentztransformaties, met behulp van imaginaire tijd.

In de kwantummechanica – de succesvolste theorie tot nu toe – kom je complexe getallen overal tegen. Zonder die getallen zouden computers, mobiele telefoons, tablets, de tv, de videorecorder, zelfs de moderne koelkast niet hebben bestaan aangezien elektrotechnici niet in staat waren geweest computerchips te bouwen. De golffunctie is een complexe functie in een complexe Hilbertruimte die complexe waarschijnlijkheidsamplitudes aanneemt en evolueert volgens de Schrödingervergelijking, die zelf een complexe vergelijking is.

In de wiskunde vervullen complexe getallen een centrale rol in de bekendere onderzoeksgebieden als niet-lineaire, complexe, dynamische systemen. De uitgelichte titel-illustratie hierboven is een detail van de beroemde Mandelbrotverzameling. Het is een speciale verzameling van complexe getallen die op kleurrijke wijze geprojecteerd zijn in het complexe vlak. De studie van niet-lineaire, complexe dynamica informeert tevens de studie van allerlei soorten patronen in de natuur en in groei, zelfs in weersvoorspellingen en klimaatwetenschap. Op een andere manier hebben we zelf nog complexe getallen toegepast in het berekenen of een laboratoriumcentrifuge met $n$ beschikbare plekken gebalanceerd ingepakt kan worden met een $k$ aantal reageerbuisjes.

Een andere leuke toepassing van complexe getallen is bij computergames. Om de driedimensionale rotaties in een driedimensionale ruimte te berekenen, maken computerprogrammeurs gebruik van quaternionen – uitbreidingen van de complexe getallen. Een quaternion is een expressie in de vorm van $a + bi + cj + dk$, waarbij $a,b,c,d$ ieder reëel getal zijn en $i^2 = j^2 = k^2 = -1.$ Echter is dit wellicht een interessant onderwerp voor another bit of maths and physics.

[1] Cooke, R. (2005) The history of mathematics : a brief course. 2nd edn. New York, N.Y.: Wiley.

[2] Open University (2014) Essential mathematics 1. Milton Keynes: Open University.

Images

Uitgelichte foto: Mandelbrot set – Step 6 of a zoom sequence door Wolfgang Beyer onder CC BY-NC-SA 2.0; aangepast voor layout.

Hinken (Hopscotch Game) door ncassullo.

Niccolò Fontana Tartaglia. Rijksmuseum, Dutch National Museum. Public domain.

Girolamo Cardano. Wellcome Images onder CC BY 4.0.

1. Op een of andere manier had ik er niet aan gedacht dat temperatuur natuurlijk kon dalen onder nul – iets dat toentertijd nog regelmatig flink gebeurde, toen we iedere winter nog op bevroren meren, vijvers, rivieren en slootjes konden schaatsten.[↩]
2. Ik had het niet gedacht, maar het is een correct Nederlands woord.[↩]
3. Regelmatig hoor en lees ik ‘rationale’ en ‘rationaal’ verward worden met ‘rationele’ en ‘rationeel’. Begrijpelijk, maar dat zijn dus verschillende zaken.[↩]
4. En nee, het heeft niets met ‘irrationeel’ te maken![↩]
5. Het is niet ongebruikelijk dat wiskundigen dan $\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ schrijven.[↩]
6. Het klopt, beste wiskundige, dat ik transcendentale getallen oversla (en ook de algebraïsche getallen, wat dat betreft). Aangezien alle transcendentale getallen irrationaal zijn, maar niet alle irrationale getallen transcendentaal, besloot ik dat het mijn schematische weergave onnodig zou compliceren in wat een inleidende tekst moet zijn over toch al voldoende complexe zaken.[↩]
7. Eigenlijk geef ik er de voorkeur aan $i^2 = -1$ te schrijven boven $i = \sqrt{-1},$ hoewel die laatste ook vaak gebruikt wordt in studieboeken. Ik vind het een tikkeltje verwarrend. Aangezien de regel is dat $\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ waar $a$ en $b$ positieve, reële getallen zijn, zou je kunnen denken dat het ook van toepassing is op de negatieve, reële getallen, zoals wanneer $a=b=-1$. In dat geval zou je echter de onjuiste stelling $\sqrt{-1} \sqrt{-1} = \sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{1} = 1$ verkrijgen, terwijl het natuurlijk eigenlijk $-1$ moet zijn. Daarom probeer ik de notatie $i = \sqrt{-1}$ zoveel mogelijk te vermijden.[↩]