Hoewel het een van de bekendste bewijzen is onder de bewijzen, kan de irrationaliteit van $\sqrt{2}$ eigenlijk niet ontbreken op een blog over wiskunde en natuurkunde. Dus, bij deze.
Wat is irrationaal?
In het geval men niet geheel bekend is met wiskundig jargon lichten we eerst toe wat het betekent om irrationaal te zijn. Uiteraard doelen we niet op de psychologische attributie ‘irrationeel’. Je schrijft het net iets anders. We spreken over het wiskundige begrip irrationaal.
Misschien dat je je nog de breuken van de lagere of basisschool kunt herinneren:
\begin{equation} 1 = \frac{4}{12} + \frac{2}{3}. \end{equation}
Een voorbeeld van de toepassing van een breuk is bij een lekker recept waar een zekere verhouding van water en rijst in voorkomt. Mogelijk ben je je er niet altijd van bewust, maar die verhouding kan worden opgeschreven als een breuk: het is de ratio tussen water en rijst. In feite is een breuk een verhouding, een ratio. Daarom wordt een getal dat óók kan worden weergegeven als een breuk, een rationaal getal genoemd (dus, nogmaals, niet rationeel, maar rationaal).
Om de perfecte, luchtige rijst te verkrijgen zonder af te hoeven gieten na afloop, moet men bijvoorbeeld een verhouding van 1 kop rijst en 1,5 kop water aanhouden1. Dus, de breuk is $\frac{1}{1.5}$.
Uiteraard is het gebruikelijk om een breuk op te schrijven met gehele getallen in de noemers en delers. Dus, $\frac{1}{1.5} = \frac{2}{3}$. Vermenigvuldig de noemer en de deler met twee. Met andere woorden, voeg voor iedere twee koppen rijst, drie koppen water toe.
Op de rekenmachine zien we dat $\frac{2}{3} = 0.666\dots$ Er komt geen eind aan dat getal, maar het getal is niettemin prima op te schrijven als een breuk, een verhouding, een ratio: $\frac{2}{3}$.
Uiteraard is $\frac{2}{3}$ hetzelfde als $\frac{4}{6}$, $\frac{10}{15}$ of $\frac{200}{300}$, aangezien deze allen – en dit is van cruciaal belang – veelvouden zijn van de originele breuk: ze kunnen allemaal vereenvoudigd worden tot hun meest simpele vorm, $\frac{2}{3}$. Iets technischer uitgedrukt: als een breuk niet verder vereenvoudigd kan worden, is de grootste gemene deler van de teller en de noemer gelijk aan 1. De breuk $\frac{2}{3}$ is de meest vereenvoudigde breuk, want je kunt de teller en de noemer niet verder delen door hetzelfde gehele getal, afgezien van het getal 1. Goed onthouden.
Nu kunnen we aangeven wat irrationaliteit betekent.
Premisse 1. Een getal is irrationaal als het niet geschreven kan worden als breuk, een ratio, die zo ver mogelijk vereenvoudigd is.
Twee bekende voorbeelden van irrationale getallen zijn $\pi$ en $\sqrt{2}$. Op de rekenmachine zien we dat er geen numerieke herhaling in deze getallen lijkt voor te komen. Dit is een eigenschap van irrationale getallen.
Bewijs uit het ongerijmde
Hoe bewijzen we nu dat $\sqrt{2}$ irrationaal is, oftewel, hoe tonen we aan dat het niet als een verhoudingsgetal, een breuk, kan worden geschreven? Dat doen we via het zogenaamde bewijs uit het ongerijmde: als het tegenovergestelde van een stelling aantoonbaar onwaar is (en er zijn ook werkelijk maar twee mogelijkheden), dan moet de oorspronkelijke stelling waar zijn. In een vorig artikel gebruikten we dezelfde strategie om te bewijzen dat min min plus is.
Dat doen we hier nu ook.
Even en oneven
Premisse 2
We maken ook gebruik van het feit dat een getal vermenigvuldigd met 2 gelijk is aan een even getal. Neem ieder getal, even of oneven, vermenigvuldig dat met 2 en je krijgt een even getal. Dit is verder geen hogere wiskunde: karakteristiek van een even getal is immers precies dat het deelbaar is door 2. In ons bewijs zullen het symbool $k$ voor ‘een getal, ieder getal, even of oneven’ gebruiken, dat vermenigvuldigd zal worden met 2.
Premisse 3
Als je het kwadraat neemt van een oneven getal, is het resultaat altijd een oneven getal. Als je het kwadraat neemt van een even getal, is het resultaat altijd een even getal. Andersom, als je de vierkantswortel van een oneven kwadraat neemt, is het resultaat altijd oneven. Bij even kwadraten krijg je een even wortel. Check in het hoofd even dat het klopt (het klopt). We zullen in een andere post bewijs hiervoor leveren.
Oké? Let’s go.
Bewijs dat wortel 2 irrationaal is
Anti-premisse 1. Stel het tegenovergestelde: $\sqrt{2}$ kan wel worden geschreven als een zoveel mogelijk vereenvoudigde verhouding: enig (geheel) getal $a$ gedeeld door enig (geheel) getal $b$.
Met andere woorden, stel dat
\begin{equation} \sqrt{2} = \frac{a}{b}. \end{equation}
Om het gemakkelijker te maken, ontdoen we ons van de vierkantswortel door beide zijden van de vergelijking te kwadrateren:
\begin{equation} 2 = \frac{a^2}{b^2}. \end{equation}
Als we dit herschikken, verkrijgen we
\begin{equation} a^2 = 2b^2. \end{equation}
Nu zien we dus dat $a^2$ een even getal is aangezien $b^2$ – eender welk getal dit moge zijn – vermenigvuldigd wordt met 2. Dit betekent ook dat $a$ geen oneven getal kan zijn, het is een even getal – zie premisse 3.
Conclusie 1: $a$ kan niet oneven zijn, het is een even getal.
We kunnen ook stellen dat $a = 2k$, waarbij $k$ enig getal is, eender welk getal, even of oneven. Als we dit substitueren in vergelijking (4), verkrijgen we
\begin{equation} (2k)^2 = 2b^2. \end{equation}
Als we dit herschikken, verkrijgen we
\begin{equation} b^2 = \frac{(2k)^2}{2}. \end{equation}
Als we dit nog een stap verder vereenvoudigen, verkrijgen we
\begin{equation} b^2 = \frac{4k^2}{2} = 2k^2. \end{equation}
Dit betekent dat, onafhankelijk van wat de waarde van $k^2$ is, het is een even getal omdat het wordt vermenigvuldigd met 2. Met andere woorden, $b^2$ is ook een even getal. En dat betekent weer dat $b$ ook een even getal is.
Conclusie 2. $b$ kan geen even getal zijn – het is ook een even getal.
Kijkend naar Conclusies 1 en 2, verkrijgen we
Conclusie 3: $\frac{a}{b}$ is niet de meest vereenvoudigde breuk aangezien $a$ en $b$ nog steeds door 2 gedeeld kunnen worden.
Dit is een contradictie. De breuk $\frac{a}{b}$ kan niet zowel de meest vereenvoudigde breuk zijn en tegelijkertijd niet de meest vereenvoudigde breuk. Conclusie 3 rijmt niet met Anti-premisse 1: ze zijn zelfs in tegenspraak. Met andere woorden, er bestaat geen breuk $\frac{a}{b}$ in de meest vereenvoudigde vorm die gelijk is aan $\sqrt{2}$. En dus, de oorspronkelijke stelling Premisse 1 is waar.
Credentials of the Babylonian tablet clay tablet showing the root of 2: Photograph by Bill Casselman under CC BY-SA 3.0, and the Yale Babylonian Collection as the original holder of the tablet. A black and white rendition of Casselman’s own photograph of the Yale Babylonian Collection’s Tablet YBC 7289 (c. 1800–1600 BCE), showing a Babylonian approximation to the square root of 2 (1 24 51 10 w: sexagesimal) in the context of Pythagoras’ Theorem for an isosceles triangle. The tablet also gives an example where one side of the square is 30, and the resulting diagonal is 42 25 35 or 42.4263888…(30 x square root of 2).
- Spoel de rijst eerst goed af om het zetmeel en het stof te verwijderen. Hiermee bevorder je de luchtigheid van de gekookte rijst. Voeg 1.5 keer de hoeveelheid rijst aan water toe. Voeg zout toe als je vindt dat het moet. Breng het water zo snel mogelijk aan de kook. Draai het vuur laag tot het kokende water zachtjes pruttelt. Roer de rijst nog een keer goed om en doe het deksel erop. Laat het acht minuten zo staan. Verwijder het deksel niet van de pan, ook niet om even te kijken. Al het water moet in de pan blijven. Draai na acht minuten het vuur uit en laat het nu rusten voor weer acht minuten. Laat nog steeds het deksel erop zitten. Laat de rijst zoveel mogelijk al het water opnemen, ook nog in dampvorm. Dat is het.[↩]
